A equação de Laplace tridimensional
é satisfeita pelas distribuições de temperatura no estado estacionário
no espaço, pelos potenciais gravitacionais e pelos potenciais eletrostáticos. A equação de Laplace bidimensional
é obtida eliminando-se a derivada parcial em relação à
da equação anterior, e descreve potenciais e distribuições de temperatura no estado estacionário no plano. Mostre que cada função nos itens a seguir satisfaz uma equação de Laplace:
Passo 1
Queremos mostrar que
satisfaz a equação de Laplace bidimensional
. Para isso, vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro reescrevemos a função como
. Aplicando derivada parcial em relação a
pelo efeito da regra da cadeia, obtemos
. De forma análoga, derivando em relação a
fica
.
Passo 3
Agora calculamos as segundas derivadas usando a regra do quociente. Em
temos:
De modo análogo, a partir de
obtemos:
Passo 4
Por fim, somando as segundas derivadas:
mostramos que
.
Resposta
A soma das segundas derivadas parciais é zero, logo
satisfaz a equação de Laplace bidimensional em
.