A equação de Laplace tridimensional partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+partial^2 fpartial z^2=0 é satisfeita pelas distribuições de temperatura no estado estacionário T=f(x, y, z) no espaço, pelos potenciais gravitacionais e pelos potenciais eletrostáticos. A equação de Laplace bidimensional partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0 é obtida eliminando-se a derivada parcial em relação à z da equação anterior, e descreve potenciais e distribuições de temperatura no estado estacionário no plano. Mostre que cada função nos itens a seguir satisfaz uma equação de Laplace:
f(x, y)=ln raizx^2+y^2

Passo 1

Queremos mostrar que f(x,y)=lnraizx^2+y^2 satisfaz a equação de Laplace bidimensional partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0. Para isso, vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro reescrevemos a função como f(x,y)=tfrac12ln(x^2+y^2). Aplicando derivada parcial em relação a x pelo efeito da regra da cadeia, obtemos fx=xx^2+y^2. De forma análoga, derivando em relação a y fica fy=yx^2+y^2.

Passo 3

Agora calculamos as segundas derivadas usando a regra do quociente. Em fx=xx^2+y^2 temos:
fxx=(x^2+y^2)cdot1 - xcdot2x(x^2+y^2)^2=y^2-x^2(x^2+y^2)^2
De modo análogo, a partir de fy=yx^2+y^2 obtemos:
fyy=(x^2+y^2)cdot1 - ycdot2y(x^2+y^2)^2=x^2-y^2(x^2+y^2)^2

Passo 4

Por fim, somando as segundas derivadas:
fxx+fyy=y^2-x^2(x^2+y^2)^2+x^2-y^2(x^2+y^2)^2=0,
mostramos que partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0.

Resposta

A soma das segundas derivadas parciais é zero, logo f(x,y)=lnraizx^2+y^2 satisfaz a equação de Laplace bidimensional em R^2setminus(0,0).

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