Seja um triângulo qualquer de lados
, opostos aos ângulos
e
, respectivamente. Pede-se:
b) Expresse
implicitamente como uma função de
e
e calcule
.
b) Expresse
Passo 1
A questão considera um triângulo genérico de lados a, b, c opostos aos ângulos A, B, C. O que a parte (b) pede é: achar uma expressão implícita que relacione a com A, b e B e depois usar diferenciação implícita para obter ∂a/∂A e ∂a/∂B. Para isso vamos usar a Lei dos Senos e depois as regras de derivada parcial.
Passo 2
Pela Lei dos Senos temos a relação
a/sin A = b/sin B.
Reescrevendo em forma implícita:
Passo 3
Agora diferenciamos implicitamente F=0 em relação a A, tratando b e B como constantes. Aplicando ∂/∂A em
vem:
Logo:
Passo 4
Em seguida diferenciamos a mesma relação implícita em relação a B, tratando a e b como funções de B e A constante. Derivando
em B obtemos
Portanto:
Se quisermos expressar em termos de A, b e B, usamos a = b sin A/sin B e ficamos com
Resposta
Expressão implícita:
.
Derivadas parciais: