Seja um triângulo qualquer de lados a, b, c, opostos aos ângulos A, B e C, respectivamente. Pede-se:
b) Expresse a implicitamente como uma função de A, b e B e calcule partial apartial A e partial apartial B.

Passo 1

A questão considera um triângulo genérico de lados a, b, c opostos aos ângulos A, B, C. O que a parte (b) pede é: achar uma expressão implícita que relacione a com A, b e B e depois usar diferenciação implícita para obter ∂a/∂A e ∂a/∂B. Para isso vamos usar a Lei dos Senos e depois as regras de derivada parcial.

Passo 2

Pela Lei dos Senos temos a relação
a/sin A = b/sin B.
Reescrevendo em forma implícita:
F(a,A,b,B) = asin B - bsin A = 0

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente F=0 em relação a A, tratando b e B como constantes. Aplicando ∂/∂A em
asin B - bsin A = 0
vem:
partial apartial Asin B - bcos A = 0
Logo:
partial apartial A = bcos Asin B

Passo 4

Em seguida diferenciamos a mesma relação implícita em relação a B, tratando a e b como funções de B e A constante. Derivando
asin B - bsin A = 0
em B obtemos
partial apartial Bsin B + acos B = 0
Portanto:
partial apartial B = -acos Bsin B = -acot B
Se quisermos expressar em termos de A, b e B, usamos a = b sin A/sin B e ficamos com
partial apartial B = -bsin Acos Bsin^2 B

Resposta

Expressão implícita: F(a,A,b,B)=asin B - bsin A=0.
Derivadas parciais:
partial apartial A=bcos Asin B,
partial apartial B=-acot B=-bsin Acos Bsin^2B

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