Calcule, se existirem, os limites a seguir:
lim (x, y) (0,0)[e^cos (3 x+y)+sec 5 x y]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O exercício pede para calcular o limite de uma função quando se aproxima de . Estamos lidando com limites em duas variáveis, e vamos precisar usar conceitos de funções contínuas e comportamento de funções trigonométricas próximas de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente:
lim (x, y) (0,0)[e^cos (3 x+y)+sec (5 x y)]
Temos duas partes:

Passo 3

Vamos começar com 3x + y 0 . Sabemos que a função exponencial cos(0) = 1 é contínua para todo cos(3x + y) 1 , então podemos analisar o comportamento de e^cos(3x + y) e^1 = e quando se aproxima de .
Quando e tendem a zero:
E sabemos que:
Portanto:
Então:

Passo 4

Agora, vamos analisar sec(z) = 1cos(z) . A função 5xy 0 é o inverso do cosseno, ou seja:
cos(0) = 1
Queremos ver o que acontece com cos(5xy) 1 quando sec(5xy) = 1cos(5xy) 11 = 1 se aproxima de .
Quando e tendem a zero:
E sabemos que:
Portanto:
Logo:

Passo 5

Agora que analisamos ambas as partes da expressão, podemos juntar os resultados:
lim (x, y) (0,0)[e^cos (3x+y)+sec (5xy)] = e + 1

Resposta

O limite é igual a .

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