Considere a parametrização x=e^t-1 e y=e^2 t.
(a) (1,0 ponto) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve parametrização de uma curva. A gente precisa eliminar o parâmetro $ t $ das equações dadas para achar uma equação cartesiana da curva. Isso significa que vamos expressar $ y $ diretamente em função de $ x $, sem depender do $ t $.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as duas equações que nos foram dadas:
x = e^t - 1
y = e^2t
O objetivo aqui é isolar o $ t $ em uma das equações e substituir na outra, eliminando assim o parâmetro.

Passo 3

Vamos começar isolando o $ t $ na equação de $ x $:
t
Para isolar $ e^{t} $, adicionamos 1 em ambos os lados:
x
Agora, para tirar o $ t $ de cima do expoente, usamos o logaritmo natural, que é a função inversa da exponencial:
x = e^t - 1

Passo 4

Agora que temos $ t = \ln(x + 1) $, vamos substituir esse valor na equação de $ y $:
t = ln(x + 1)
Substituindo $ t $:
y
Lembra que $ e^{\ln(a)} = a $? Então, podemos simplificar isso.

Passo 5

Simplificando a expressão:
y = e^2 ln(x + 1) = (e^ln(x + 1))^2 = (x + 1)^2
Então, chegamos a uma relação direta entre $ y $ e $ x $.

Resposta

A equação cartesiana da curva é:
y = (x + 1)^2

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