Considere a parametrização
e
.
(a) (1,0 ponto) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
(a) (1,0 ponto) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve parametrização de uma curva. A gente precisa eliminar o parâmetro $ t $ das equações dadas para achar uma equação cartesiana da curva. Isso significa que vamos expressar $ y $ diretamente em função de $ x $, sem depender do $ t $.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para as duas equações que nos foram dadas:
O objetivo aqui é isolar o $ t $ em uma das equações e substituir na outra, eliminando assim o parâmetro.
Passo 3
Vamos começar isolando o $ t $ na equação de $ x $:
Para isolar $ e^{t} $, adicionamos 1 em ambos os lados:
Agora, para tirar o $ t $ de cima do expoente, usamos o logaritmo natural, que é a função inversa da exponencial:
Passo 4
Agora que temos $ t = \ln(x + 1) $, vamos substituir esse valor na equação de $ y $:
Substituindo $ t $:
Lembra que $ e^{\ln(a)} = a $? Então, podemos simplificar isso.
Passo 5
Simplificando a expressão:
Então, chegamos a uma relação direta entre $ y $ e $ x $.
Resposta
A equação cartesiana da curva é: