A equação de onda unidimensional é dada por
, onde
é a velocidade de propagação da onda,
é a distância e
o tempo. Mostre que as funções nos itens a seguir são todas soluções da equação de onda:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função V(x,t)=tan(2x−2c ) satisfaz a equação de onda unidimensional ∂²w/∂t²=c²∂²w/∂x². Vamos usar regra da cadeia e derivadas de tan(x) e sec²(x).
Passo 2
Definimos φ(x,t)=2x−2c , de modo que V(x,t)=tan(φ). Calculamos a primeira e a segunda derivada em relação a t:
Calculamos ∂V/∂t. Pela regra da cadeia temos ∂V/∂t = sec²(φ)⋅∂φ/∂t. Como ∂φ/∂t=−2c,
Calculamos ∂V/∂t. Pela regra da cadeia temos ∂V/∂t = sec²(φ)⋅∂φ/∂t. Como ∂φ/∂t=−2c,
Calculamos então ∂²V/∂t² diferenciando novamente em t:
Substituindo ∂φ/∂t=−2c obtemos
Passo 3
Agora calculamos ∂V/∂x e ∂²V/∂x². Temos ∂φ/∂x=2, então
Diferenciando em x novamente:
Substituindo ∂φ/∂x=2 resulta
Multiplicando por c²:
que é exatamente igual a ∂²V/∂t². Portanto a igualdade ∂²V/∂t²=c²∂²V/∂x² se verifica.
Passo 4
Concluímos que V(x,t)=tan(2x−2c ) é solução da equação de onda unidimensional.
Resposta
A função V(x,t)=tan(2x−2c t) satisfaz ∂²V/∂t²=c²∂²V/∂x², logo é solução da equação de onda.