A equação de onda unidimensional é dada por partial^2 wpartial t^2=c^2 partial^2 wpartial x^2, onde c é a velocidade de propagação da onda, x é a distância e t o tempo. Mostre que as funções nos itens a seguir são todas soluções da equação de onda:
V=tan (2 x-2 c t)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função V(x,t)=tan(2x−2c ) satisfaz a equação de onda unidimensional ∂²w/∂t²=c²∂²w/∂x². Vamos usar regra da cadeia e derivadas de tan(x) e sec²(x).

Passo 2

Definimos φ(x,t)=2x−2c , de modo que V(x,t)=tan(φ). Calculamos a primeira e a segunda derivada em relação a t:
Calculamos ∂V/∂t. Pela regra da cadeia temos ∂V/∂t = sec²(φ)⋅∂φ/∂t. Como ∂φ/∂t=−2c,
partial Vpartial t= sec^2(φ)cdot(-2c)= -2c,sec^2(φ)
Calculamos então ∂²V/∂t² diferenciando novamente em t:
partial^2Vpartial t^2=ddtl(-2c,sec^2(φ)r)=-2ccdot2,sec^2(φ),tan(φ)cdotpartial φpartial t
Substituindo ∂φ/∂t=−2c obtemos
partial^2Vpartial t^2=-2ccdot2,sec^2(φ),tan(φ)cdot(-2c)=8c^2,sec^2(φ),tan(φ)

Passo 3

Agora calculamos ∂V/∂x e ∂²V/∂x². Temos ∂φ/∂x=2, então
partial Vpartial x=sec^2(φ)cdot2=2,sec^2(φ)
Diferenciando em x novamente:
partial^2Vpartial x^2=ddxl(2,sec^2(φ)r)=2cdot2,sec^2(φ),tan(φ)cdotpartial φpartial x
Substituindo ∂φ/∂x=2 resulta
partial^2Vpartial x^2=2cdot2,sec^2(φ),tan(φ)cdot2=8,sec^2(φ),tan(φ)
Multiplicando por c²:
c^2,partial^2Vpartial x^2=8c^2,sec^2(φ),tan(φ),
que é exatamente igual a ∂²V/∂t². Portanto a igualdade ∂²V/∂t²=c²∂²V/∂x² se verifica.

Passo 4

Concluímos que V(x,t)=tan(2x−2c ) é solução da equação de onda unidimensional.

Resposta

A função V(x,t)=tan(2x−2c t) satisfaz ∂²V/∂t²=c²∂²V/∂x², logo é solução da equação de onda.

Exercícios relacionados