Calcule, se existirem, os seguintes limites:
d) lim x 1 raiz[4]x-1raiz[5]x-1

Passo 1

Aqui a ideia é achar o limite limxto1raiz[4]x-1raiz[5]x-1, que cai na matéria de limites de indeterminações e vamos usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, substituindo x=1 diretamente, temos raiz[4]1-1=0 e raiz[5]1-1=0, ou seja, a forma é 0/0, indeterminada.

Passo 3

Como deu indeterminação 0/0, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que limxto af(x)g(x)=limxto af'(x)g'(x) desde que as derivadas existam e g'(a)neq0.

Passo 4

Vamos derivar numerador e denominador: derivando f(x)=raiz[4]x=x^1/4
f'(x)=14,x^-3/4,
e derivando g(x)=raiz[5]x=x^1/5
g'(x)=15,x^-4/5

Passo 5

Agora o limite vira
limxto1f'(x)g'(x)=limxto114x^-3/415x^-4/5=1/41/5,limxto1x^-3/4+4/5
Como x^-3/4+4/5 em x=1 vale 1, sobra
1/41/5=54

Passo 6

Portanto o limite existe e é 5/4.

Resposta

tfrac54

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