Obtenha o valor das integrais de superfície:
sobre a porção do plano
restrita ao primeiro octante;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede para calcular a integral de
sobre a parte do plano
que está no primeiro octante. Vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície, e precisamos entender como parametrizar a superfície e definir os limites da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o primeiro octante. No espaço 3D, o primeiro octante é a região onde
,
e
são todas positivas. Então, vamos encontrar os limites para
,
e
nesse plano.
Passo 3
Vamos reescrever a equação do plano
para expressar
em função de
e
:
Como estamos no primeiro octante,
, então:
Isso define a região triangular no plano
-plane onde
e
vão de 0 a 1, com a restrição
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o elemento de área
da superfície. Para isso, vamos usar a fórmula:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Passo 5
Agora, podemos montar a integral de superfície:
Lembrando que
, substituímos na expressão:
Passo 6
Agora, definimos os limites da integral dupla. Como
, podemos integrar
de 0 até
e
de 0 até 1:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Substituindo os limites:
Expandindo:
Simplificando:
Passo 8
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Vamos integrar termo a termo:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Resposta
O valor da integral de superfície é
.