Obtenha o valor das integrais de superfície:
integral duplaS x+y+z d S sobre a porção do plano S: 2 x+2 y+z=2 restrita ao primeiro octante;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede para calcular a integral de sobre a parte do plano que está no primeiro octante. Vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície, e precisamos entender como parametrizar a superfície e definir os limites da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o primeiro octante. No espaço 3D, o primeiro octante é a região onde , e são todas positivas. Então, vamos encontrar os limites para , e nesse plano.

Passo 3

Vamos reescrever a equação do plano z = 2 - 2x - 2y para expressar 2 - 2x - 2y >= 0 em função de 2x + 2y <= 2 e x + y <= 1 :
Como estamos no primeiro octante, , então:
Isso define a região triangular no plano -plane onde e vão de 0 a 1, com a restrição .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o elemento de área dS = raiz ( partial zpartial x )^2 + ( partial zpartial y )^2 + 1 , dx , dy da superfície. Para isso, vamos usar a fórmula:
partial zpartial x = -2
Calculando as derivadas parciais:
partial zpartial y = -2
dS = raiz (-2)^2 + (-2)^2 + 1 , dx , dy = raiz4 + 4 + 1 , dx , dy = raiz9 , dx , dy = 3 , dx , dy
Então:

Passo 5

Agora, podemos montar a integral de superfície:
integral duplaS (x + y + z) , dS = integral duplaD (x + y + z) cdot 3 , dx , dy
Lembrando que 3 integral duplaD (x + y + 2 - 2x - 2y) , dx , dy = 3 integral duplaD (2 - x - y) , dx , dy , substituímos na expressão:

Passo 6

Agora, definimos os limites da integral dupla. Como 3 integral0^1 integral0^1 - x (2 - x - y) , dy , dx , podemos integrar de 0 até e de 0 até 1:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^1 - x (2 - x - y) , dy = [ (2 - x)y - y^22 ]0^1 - x :
(2 - x)(1 - x) - (1 - x)^22
Substituindo os limites:
(2 - x - 2x + x^2) - 1 - 2x + x^22 = (2 - 3x + x^2) - 12 + x - x^22
Expandindo:
32 - 2x + x^22
Simplificando:

Passo 8

Agora, substituímos de volta na integral externa:
3 integral0^1 ( 32 - 2x + x^22 ) dx
Vamos integrar termo a termo:
3 [ 32x - x^2 + x^36 ]0^1
Substituindo os limites:
3 ( 32(1) - (1)^2 + (1)^36 ) = 3 ( 32 - 1 + 16 )
Simplificando:
3 ( 32 - 66 + 16 ) = 3 ( 32 - 56 ) = 3 ( 96 - 56 ) = 3 ( 46 ) = 3 cdot 23 = 2

Resposta

O valor da integral de superfície é .

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