Encontre lim x infty f(x) e lim x -infty f(x) para as funções abaixo. Use esta informação, as interseções com os eixos coordenados e os limites laterais para esboçar um gráfico de y=f(x).
a) f(x)=x^2(x-2)(1-x)

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: queremos estudar o comportamento da função f(x)=x^2(x-2)(1-x) quando e , encontrar as interseções com os eixos coordenados e usar os limites laterais em cada raiz para esboçar o gráfico.

Passo 2

Para achar os limites nas infinitudes, observamos o termo de maior grau. Expandindo mentalmente,
f(x)=x^2(x-2)(1-x)=x^2(x-2)(-x+1)=-x^4 +termos de grau menor
Como o termo dominante é -x^4, concluímos que
limxto +inftyf(x)=-inftye limxto -inftyf(x)=-infty

Passo 3

Agora vamos achar as raízes (interseções com o eixo x):
  • x^2=0 dá raiz dupla em x=0.
  • x-2=0 dá raiz simples em x=2.
  • 1-x=0 dá raiz simples em x=1.
    O intercepto com o eixo y é f(0)=0, que já sabemos por x=0.

Passo 4

Para entender como a curva cruza o eixo em cada raiz, fazemos análise de sinais em intervalos:
  • Para x<0, escolhemos x=-1: f(-1)=(-1)^2(-3)(2)=-6<0.
  • Entre 0 e 1, por exemplo x=0.5: f(0.5)=0.25cdot(-1.5)cdot0.5<0.
  • Entre 1 e 2, por exemplo x=1.5: f(1.5)=2.25cdot(-0.5)cdot(-0.5)>0.
  • Para x>2, por exemplo x=3: f(3)=9cdot1cdot(-2)=-18<0.

Passo 5

Como x=0 é raiz de multiplicidade par, a curva toca o eixo x em 0 e retorna sem mudar de sinal. Nas raízes x=1 e x=2, por serem de multiplicidade ímpar, a curva cruza o eixo e troca de sinal.

Passo 6

Com essas informações, esboçamos o gráfico: ele vem de -infty à esquerda, fica negativo até x=0 onde toca o eixo, continua negativo até x=1 onde cruza para positivo, atinge um máximo e cruza novamente em x=2 voltando para negativo, e então cai para -infty.

Resposta

limxto+inftyf(x)=-infty e limxto-inftyf(x)=-infty.

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