Calcule, se existirem, os seguintes limites:
lim x 1 tg(3 x^2-5 x+2)x^2+x-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
lim x 1 tan(3 x^2-5 x+2)x^2+x-2
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar usar fatores algébricos e uma propriedade importante da função tangente quando seu argumento está próximo de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando $ x $ se aproxima de 1. Substituindo $ x = 1 $ na função:
x
E no denominador:
x = 1
Então, estamos lidando com uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos começar fatorando o numerador $ 3x^{2} - 5x + 2 $. Queremos encontrar dois números que multiplicados dão $ 3 \times 2 = 6 $ e somados dão -5. Esses números são -2 e -3. Então:
3x^2 - 5x + 2

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador $ x^{2} + x - 2 $. Procuramos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão 1. Esses números são 2 e -1. Então:
x^2 + x - 2

Passo 5

Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
tan((3x - 2)(x - 1))(x + 2)(x - 1)
Agora, podemos simplificar cancelando o termo $ (x - 1) $ que aparece no numerador e no denominador:
(x - 1)

Passo 6

Observamos que, quando $ x $ se aproxima de 1, o termo $ (3x - 2)(x - 1) $ está se aproximando de 0. Sabemos que:
x
Então, podemos reescrever nossa expressão usando $ z = (3x - 2)(x - 1) $:
(3x - 2)(x - 1)

Resposta

O limite é dfrac13.

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