Calcule, se existirem, os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar usar fatores algébricos e uma propriedade importante da função tangente quando seu argumento está próximo de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando $ x $ se aproxima de 1. Substituindo $ x = 1 $ na função:
E no denominador:
Então, estamos lidando com uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos começar fatorando o numerador $ 3x^{2} - 5x + 2 $. Queremos encontrar dois números que multiplicados dão $ 3 \times 2 = 6 $ e somados dão -5. Esses números são -2 e -3. Então:
Passo 4
Agora, vamos fatorar o denominador $ x^{2} + x - 2 $. Procuramos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão 1. Esses números são 2 e -1. Então:
Passo 5
Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
Agora, podemos simplificar cancelando o termo $ (x - 1) $ que aparece no numerador e no denominador:
Passo 6
Observamos que, quando $ x $ se aproxima de 1, o termo $ (3x - 2)(x - 1) $ está se aproximando de 0. Sabemos que:
Então, podemos reescrever nossa expressão usando $ z = (3x - 2)(x - 1) $:
Resposta
O limite é
.