Calcule, se existirem, os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa calcular um limite, que é um conceito da matemática chamado Cálculo, especificamente dentro do estudo de limites. Para resolver esse problema, vamos precisar entender como comportam-se as funções próximas a certos pontos e, possivelmente, usar uma técnica chamada Regra de L’Hospital. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que o limite está nos pedindo:
Isso significa que queremos saber qual valor a expressão
está se aproximando quando
se aproxima de
.
Passo 3
Vamos tentar substituir
por
diretamente na expressão para ver o que acontece:
- No numerador:
(porque o cosseno de é zero). - No denominador:
.
Então, temos
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir diretamente qual é o limite e precisamos usar outra técnica.
Passo 4
Quando nos deparamos com uma forma indeterminada como
, podemos usar a Regra de L’Hospital. Essa regra nos diz que, se temos:
então podemos calcular:
Ou seja, derivamos o numerador e o denominador separadamente e então calculamos o limite novamente.
Passo 5
Vamos aplicar a Regra de L’Hospital ao nosso limite:
Primeiro, derivamos o numerador e o denominador:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Então, nosso limite fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular esse novo limite substituindo
por
:
Resposta
O limite é igual a
.