Calcule, se existirem, os seguintes limites:
lim x -pi2 cos xx+pi2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa calcular um limite, que é um conceito da matemática chamado Cálculo, especificamente dentro do estudo de limites. Para resolver esse problema, vamos precisar entender como comportam-se as funções próximas a certos pontos e, possivelmente, usar uma técnica chamada Regra de L’Hospital. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que o limite está nos pedindo:
lim x -pi2 cos xx + pi2
Isso significa que queremos saber qual valor a expressão cos xx + pi2 está se aproximando quando x se aproxima de -pi2.

Passo 3

Vamos tentar substituir x por -pi2 diretamente na expressão para ver o que acontece:
  • No numerador: cos(-pi2) = 0 (porque o cosseno de -pi2 é zero).
  • No denominador: -pi2 + pi2 = 0.
Então, temos 00, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir diretamente qual é o limite e precisamos usar outra técnica.

Passo 4

Quando nos deparamos com uma forma indeterminada como 00, podemos usar a Regra de L’Hospital. Essa regra nos diz que, se temos:
limx to a f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty,
então podemos calcular:
limx to a f'(x)g'(x)
Ou seja, derivamos o numerador e o denominador separadamente e então calculamos o limite novamente.

Passo 5

Vamos aplicar a Regra de L’Hospital ao nosso limite:
Primeiro, derivamos o numerador e o denominador:
  • Derivada de cos x é - sin x.
  • Derivada de x + pi2 é 1.
Então, nosso limite fica:
lim x -pi2 -sin x1

Passo 6

Agora, vamos calcular esse novo limite substituindo x por -pi2:
- sin(-pi2) = - (-1) = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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