(d)l y^prime prime-3 y^prime+2 y=20 sen t y(0)=0, y^prime(0)=0
encontre a solução de cada PVI mas de acordo com o teorema de laplace

Passo 1

Fala! Então, a gente tem um problema de equações diferenciais aqui. A equação dada é $ y’’ - 3 y’ + 2 y = 20 \sin t $ com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $. Vamos resolver isso usando o Teorema de Laplace, que é uma técnica poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente com condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Ly' = s Y(s) - y(0)
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Como sabemos que $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $, essas expressões ficam mais simples.

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial:
Ly'' - 3Ly' + 2Ly = L20 sin t
Substituindo pelas transformadas:
(s^2 Y(s) - s cdot 0 - 0) - 3(s Y(s) - 0) + 2 Y(s) = 20 cdot 1s^2 + 1
Simplificando:
s^2 Y(s) - 3s Y(s) + 2 Y(s) = 20s^2 + 1

Passo 4

Fatorando $ Y(s) $ no lado esquerdo:
Y(s)
Agora, isolamos $ Y(s) $:
Y(s)(s^2 - 3s + 2) = 20s^2 + 1

Passo 5

Vamos fatorar o denominador $ s^2 - 3s + 2 $:
s^2 - 3s + 2
Então, temos:
s^2 - 3s + 2 = (s - 1)(s - 2)

Passo 6

Agora, precisamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
20(s^2 + 1)(s - 1)(s - 2) = A s + Bs^2 + 1 + Cs - 1 + Ds - 2
Multiplicando ambos os lados por $ (s^2 + 1)(s - 1)(s - 2) $:
(s^2 + 1)(s - 1)(s - 2)

Passo 7

Para encontrar os valores de A, B, C e D, escolhemos valores estratégicos de $ s $:
  • Se $ s = 1 $:
s
  • Se $ s = 2 $:
s = 1
Agora, para encontrar A e B, podemos escolher outro valor de $ s $, como $ s = 0 $:
20 = C (1^2 + 1)(1 - 2) Rightarrow 20 = C (2)(-1) Rightarrow C = -10
s = 2
20 = D (2^2 + 1)(2 - 1) Rightarrow 20 = D (5)(1) Rightarrow D = 4
Finalmente, para encontrar A, podemos derivar ou escolher outro valor; aqui, por simplicidade, escolhemos $ s = 3 $:
s
s = 0
20 = (0 + B)(-1)(-2) + (-10)(0 + 1)(-2) + 4 (0 + 1)(-1)
20 = B cdot 2 + 20 - 4

Passo 8

Agora, substituímos os valores encontrados:
Y(s) = 83 s + 2s^2 + 1 + -10s - 1 + 4s - 2
Podemos separar isso:
Y(s) = 83 cdot ss^2 + 1 + 2s^2 + 1 - 10s - 1 + 4s - 2

Passo 9

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
  • L^-1ss^2 + 1 = cos t
  • L^-11s^2 + 1 = sin t
  • L^-11s - a = e^a t
Então:
y(t) = 83 cos t + 2 sin t - 10 e^t + 4 e^2 t

Resposta

A solução da PVI é:
y(t) = 83 cos t + 2 sin t - 10 e^t + 4 e^2 t

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