encontre a solução de cada PVI mas de acordo com o teorema de laplace
Passo 1
Fala! Então, a gente tem um problema de equações diferenciais aqui. A equação dada é $ y’’ - 3 y’ + 2 y = 20 \sin t $ com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $. Vamos resolver isso usando o Teorema de Laplace, que é uma técnica poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente com condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Como sabemos que $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $, essas expressões ficam mais simples.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial:
Substituindo pelas transformadas:
Simplificando:
Passo 4
Fatorando $ Y(s) $ no lado esquerdo:
Agora, isolamos $ Y(s) $:
Passo 5
Vamos fatorar o denominador $ s^2 - 3s + 2 $:
Então, temos:
Passo 6
Agora, precisamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por $ (s^2 + 1)(s - 1)(s - 2) $:
Passo 7
Para encontrar os valores de A, B, C e D, escolhemos valores estratégicos de $ s $:
- Se $ s = 1 $:
- Se $ s = 2 $:
Agora, para encontrar A e B, podemos escolher outro valor de $ s $, como $ s = 0 $:
Finalmente, para encontrar A, podemos derivar ou escolher outro valor; aqui, por simplicidade, escolhemos $ s = 3 $:
Passo 8
Agora, substituímos os valores encontrados:
Podemos separar isso:
Passo 9
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
Então:
Resposta
A solução da PVI é: