Calcule, se existirem, os seguintes limites:
lim x 0^+(1+1x)^x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto0^+l(1+1xr)^x
Aqui temos uma forma indeterminada do tipo “ infty^0”, então vamos usar a transformação
f(x)=l(1+1xr)^x=expl(xlnl(1+tfrac1xr)r),
e estudar o limite do expoente.

Passo 2

Defina
E=limxto0^+xlnl(1+1xr)
Então
limxto0^+f(x)=expl(Er)

Passo 3

Dentro do logaritmo note que
1+1x=1+xx,
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lnl(1+1xr) =lnl(1+xr)-ln(x)
Portanto
xlnl(1+1xr) =xln(1+x)-xln(x)

Passo 4

Agora avaliaremos cada termo separadamente quando xto0^+:
  • Como ln(1+x)sim x para x pequeno, tem-se xln(1+x);longrightarrow;0
  • E sabe-se que xln(x);longrightarrow;0 quando xto0^+
Assim
E=limxto0^+l[xln(1+x)-xln(x)r]=0-0=0

Passo 5

Como E=0, concluímos que
limxto0^+l(1+1xr)^x =exp(0)=1

Resposta

1

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