Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
x^3 y^prime prime prime-3 x^2 y^prime prime+7 x y^prime-8 y=0 (x>0)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
x^3y''' - 3x^2y'' + 7x,y' - 8y = 0, x>0,
que é uma equação de Euler–Cauchy de ordem três. Para resolver, vamos usar o método de tentar uma solução do tipo y = x^m.

Passo 2

Assumindo
y = x^m,
temos
y' = m,x^m-1, y'' = m(m-1),x^m-2, y''' = m(m-1)(m-2),x^m-3

Passo 3

Substituindo essas expressões na EDO, fatorando x^m (não nulo para x>0), obtemos a equação característica
m(m-1)(m-2);-;3,m(m-1);+;7m;-;8 ;=;0
Expandindo, chega-se a
m^3-6m^2+12m-8 = 0

Passo 4

Reconhecemos que
m^3-6m^2+12m-8 = (m-2)^3,
logo a raiz é m=2 de multiplicidade três.

Passo 5

Para uma equação de Euler com raiz m=r de multiplicidade k, as soluções independentes são
x^r,;x^rln x,;x^r(ln x)^2,;dots,;x^r(ln x)^k-1
Aqui r=2 e k=3, então a solução geral é
y = x^2l(C1 + C2ln x + C3(ln x)^2r)

Resposta

boxedy(x) = x^2l(C1 + C2ln x + C3(ln x)^2r), C1,C2,C3inR

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