Para as funções dadas abaixo calcule lim h 0 f(x+h)-f(x)h.
f(x)=log a(x), a in R+^*-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de ,f(x)=loga(x) usando a definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
O conteúdo envolve o uso da definição de derivada, a mudança de base do logaritmo e um limite clássico de logaritmo natural.

Passo 2

Escrevemos o limite definindo a derivada:
f'(x) =limhto0loga(x+h)-loga(x)h

Passo 3

Usamos a mudança de base loga(u)=ln(u)ln(a) para obter
loga(x+h)-loga(x)h =1ln(a);ln(x+h)-ln(x)h =1h,ln(a),ln!gl(x+hxgr)

Passo 4

Defina a substituição
u=x+hx Longrightarrow h=x(u-1),
então, quando hto0, temos uto1 e
1h,ln(a),ln!l(tfracx+hxr) =1x,ln(a);ln(u)u-1

Passo 5

Usamos o limite conhecido
limuto1ln(u)u-1=1,
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f'(x) =1x,ln(a)cdot1 =1x,ln(a)

Resposta

f'(x)=1x,ln(a)

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