Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
x^3 y^prime prime prime+3 x^2 y^prime prime-2 x y^prime+2 y=0 (x neq 0)

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de Euler–Cauchy
x^3y'''+3x^2y''-2xy'+2y=0, xneq0,
que é uma EDO de ordem 3 com coeficientes que são potências de x. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar a substituição de Euler
y=x^m,
que transforma a EDO num polinômio em m (a equação característica).

Passo 2

Assumindo y=x^m, calculamos as derivadas necessárias:
y'=m,x^m-1, y''=m(m-1),x^m-2, y'''=m(m-1)(m-2),x^m-3
Substituindo na EDO, todas as potências de x ficam iguais a x^m, e sobra apenas um polinômio em m.

Passo 3

A substituição dá
x^3l[m(m-1)(m-2)x^m-3r] +3x^2l[m(m-1)x^m-2r] -2xl[m,x^m-1r] +2,x^m=0,
que simplifica para
l[m(m-1)(m-2)+3m(m-1)-2m+2r]x^m=0
Como x^mneq0, a equação característica é
m(m-1)(m-2)+3m(m-1)-2m+2=0
ou, reorganizando,
m^3-3m+2=0

Passo 4

Resolvendo
m^3-3m+2=0,
testamos m=1 e verificamos que é raiz. Dividindo o polinômio por (m-1), obtemos
m^2+m-2=0,
cuja solução é
m=-1pmraiz1+82=-1pm32,
isto é, m=1 (raiz dupla) e m=-2.

Passo 5

Para a EDO de Euler, cada raiz simples mi gera um termo x^mi, e cada raiz m de multiplicidade 2 gera também o termo x^mln x. Aqui temos m=1 dupla e m=-2 simples. Logo a solução geral é
y=C1,x^1+C2,x^1ln x +C3,x^-2

Resposta

y=C1x + C2xln x + C3x^-2

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