Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial de Euler–Cauchy
que é uma EDO de ordem 3 com coeficientes que são potências de
. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar a substituição de Euler
que transforma a EDO num polinômio em
(a equação característica).
Passo 2
Assumindo
, calculamos as derivadas necessárias:
Substituindo na EDO, todas as potências de
ficam iguais a
, e sobra apenas um polinômio em
.
Passo 3
A substituição dá
que simplifica para
Como
, a equação característica é
ou, reorganizando,
Passo 4
Resolvendo
testamos
e verificamos que é raiz. Dividindo o polinômio por
, obtemos
cuja solução é
isto é,
(raiz dupla) e
.
Passo 5
Para a EDO de Euler, cada raiz simples
gera um termo
, e cada raiz
de multiplicidade 2 gera também o termo
. Aqui temos
dupla e
simples. Logo a solução geral é