Calcule, se existirem, os seguintes limites:
lim x 0(1+sin (2 x))^1sin x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
L=limxto0l(1+sin(2x)r)^1sin x
O assunto aqui é “limite de forma exponencial” do tipo f(x)^g(x). A estratégia é usar o logaritmo natural para transformar em uma forma de limite de quociente.

Passo 2

Defina
y=(1+sin(2x))^1sin x,
então
ln y = 1sin x,lnl(1+sin(2x)r)
Vamos calcular
limxto0ln y
e depois recuperar L pela exponencial.

Passo 3

Para xto0 temos sin(2x)to0, então podemos usar a equivalência ln(1+u)sim u quando uto0. Aqui u=sin(2x), logo
lnl(1+sin(2x)r)sim sin(2x)
Então
limxto0ln y =limxto0lnl(1+sin(2x)r)sin x simlimxto0sin(2x)sin x = limxto02cos x =2

Resposta

e^2

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