Calcule, se existirem, os seguintes limites:
lim x -4 x^3+64x+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x -4 x^3+64x+4. A gente está trabalhando com Cálculo de Limites, especificamente lidando com uma função racional (razão de polinômios). Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e fatorar polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor x = -4 diretamente na função para ver o que acontece:
(-4)^3 + 64-4 + 4 = -64 + 640 = 00
Ah, dá uma forma indeterminada 00. Isso significa que não podemos simplesmente substituir o valor; precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Quando encontramos a forma 00, uma estratégia é fatorar o numerador para cancelar o denominador. Nosso numerador é x^3 + 64. Reconhecemos isso como uma soma de cubos, já que 64 = 4^3.
A fórmula para a soma de cubos é:
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso numerador:
x^3 + 64 = x^3 + 4^3 = (x + 4)(x^2 - 4x + 16)
Então, a expressão original fica:
x^3 + 64x + 4 = (x + 4)(x^2 - 4x + 16)x + 4

Passo 5

Agora, podemos cancelar o fator comum (x + 4) no numerador e denominador:
(x + 4)(x^2 - 4x + 16)x + 4 = x^2 - 4x + 16
Agora, a função está simplificada e não apresenta mais a forma indeterminada.

Passo 6

Com a expressão simplificada, podemos calcular o limite substituindo x = -4:
(-4)^2 - 4(-4) + 16 = 16 + 16 + 16 = 48

Resposta

O limite é 48.

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