Encontre a solução de cada PVI conforme o teorema de laplace
Passo 1
O problema pede para resolver o PVI
com as condições iniciais
e
, usando a transformada de Laplace.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação. Sabemos que
$$\mathcal{L}{y’’}=s^2Y(s)-s,y(0)-y’(0), \quad \mathcal{L}{y}=Y(s), \quad \mathcal{L}{e^t}=\frac{1}{s-1}.
$$
Passo 3
Agrupamos os termos que contêm
e isolamos:
$$(s^2-5)Y(s)=7s+11+\frac{1}{s-1}.
$$
Passo 4
Para inverter
, separamos em duas partes:
-
, que vira combinações de e . -
fazemos frações parciais:
invertendo cada termo em exponenciais.
Passo 5
Somamos todas as inversões e simplificamos as constantes usando as condições iniciais, obtendo assim os coeficientes definitivos da solução.