Encontre a solução de cada PVI conforme o teorema de laplace
l y^prime-5 y=e^t y(0)=7, y^prime(0)=11

Passo 1

O problema pede para resolver o PVI y'' - 5y = e^t com as condições iniciais y(0)=7 e y'(0)=11, usando a transformada de Laplace.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação. Sabemos que
$$\mathcal{L}{y’’}=s^2Y(s)-s,y(0)-y’(0), \quad \mathcal{L}{y}=Y(s), \quad \mathcal{L}{e^t}=\frac{1}{s-1}.
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0), Ly=Y(s), Le^t=1s-1 (s^2Y(s)-7s-11)-5Y(s)=\frac{1}{s-1}.
$$

Passo 3

Agrupamos os termos que contêm Y(s) e isolamos:
$$(s^2-5)Y(s)=7s+11+\frac{1}{s-1}.
(s^2-5)Y(s)=7s+11+1s-1 Y(s)=\frac{7s+11}{s2-5}+\frac{1}{(s-1)(s2-5)}.
$$

Passo 4

Para inverter Y(s), separamos em duas partes:
  1. dfrac7s+11s^2-5=7dfracss^2-(raiz5)^2+11dfrac1s^2-(raiz5)^2, que vira combinações de cosh(raiz5,t) e sinh(raiz5,t).
  2. dfrac1(s-1)(s^2-5) fazemos frações parciais:
1(s-1)(s^2-5)=-14(s-1)+raiz5+18raiz51s-raiz5+raiz5-18raiz51s+raiz5,
invertendo cada termo em exponenciais.

Passo 5

Somamos todas as inversões e simplificamos as constantes usando as condições iniciais, obtendo assim os coeficientes definitivos da solução.

Resposta

y(t)=29+9raiz58e^raiz5t+29-9raiz58e^-raiz5t-14e^t

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