Veja o seguinte exemplo:
Sabendo que o resto da divisão de um número b por 5 é 3 determine o resto da divisão por 5 do número 3 b+5.
Solução: Temos que b=5 a+3. Queremos saber o resto da divisão de 3 b+5, por 5 isto é
3 b+5=5 c+r, onde r=0,1,2,3 ou 4 de b=5 a+3 Rightarrow 3 b=15 a+9
e de r=3 b+5-5 c Rightarrow r=15 a+9+5(1-c) Rightarrow r=5(3 a+1-c)+9 Rightarrow r-9=5(3 a+1-c)
Logo, 5 mid r-9. Substituindo os possíveis valores de r teremos:
ll r=0 & 5 nmid-9 r=1 & 5 nmid 1-9=-8 r=2 & 5 nmid 2-9=-7 r=3 & 5 nmid 3-9=-6 r=4 & 5 mid 4-9=-5
Portanto, o único valor que satisfaz é r=4, sendo este o resto procurado.
Agora, resolva o seguinte exercício: Sabendo que o resto da divisão de um inteiro b por 6 é 5 , calcular o resto da divisão por 6 dos seguintes números:
d) 10 b+1

Passo 1

Vamos resumir a questão: Sabemos que, ao dividir um número inteiro $ b $ por 6, o resto é 5. Queremos descobrir qual será o resto da divisão de $ 10b + 1 $ por 6. Para resolver isso, vamos usar conceitos de aritmética modular, que nos ajudam a trabalhar com restos de divisões de forma mais fácil.

Passo 2

Primeiro, como o resto da divisão de $ b $ por 6 é 5, podemos expressar $ b $ da seguinte forma:
b
onde $ k $ é um número inteiro qualquer.

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expressão de $ b $ na expressão que queremos analisar, que é $ 10b + 1 $:
b

Passo 4

Queremos encontrar o resto da divisão de $ 60k + 51 $ por 6. Podemos usar a propriedade da modularidade que diz que:
60k + 51
Aplicando essa propriedade:
(a + b) mod m = [(a mod m) + (b mod m)] mod m

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente:
60k mod 6 = 0
Isso porque $ 60k $ é múltiplo de 6 ($ 60k = 6 \times 10k $), e qualquer múltiplo de 6 dividido por 6 dá resto 0.
Agora, calculamos $ 51 \mod 6 $:
60k
Então:
60k = 6 times 10k

Passo 6

Somando os restos que encontramos:
0 + 3 = 3
Portanto, o resto da divisão de $ 60k + 51 $ por 6 é 3.

Resposta

O resto da divisão de 10b + 1 por 6 é igual a 3.

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