Veja o seguinte exemplo:
Sabendo que o resto da divisão de um número
por 5 é 3 determine o resto da divisão por 5 do número
.
Solução: Temos que
. Queremos saber o resto da divisão de
, por 5 isto é
de
e de
Logo,
. Substituindo os possíveis valores de
teremos:
Portanto, o único valor que satisfaz é
, sendo este o resto procurado.
Agora, resolva o seguinte exercício: Sabendo que o resto da divisão de um inteiro b por 6 é 5 , calcular o resto da divisão por 6 dos seguintes números:
d)
Logo,
d)
Passo 1
Vamos resumir a questão: Sabemos que, ao dividir um número inteiro $ b $ por 6, o resto é 5. Queremos descobrir qual será o resto da divisão de $ 10b + 1 $ por 6. Para resolver isso, vamos usar conceitos de aritmética modular, que nos ajudam a trabalhar com restos de divisões de forma mais fácil.
Passo 2
Primeiro, como o resto da divisão de $ b $ por 6 é 5, podemos expressar $ b $ da seguinte forma:
onde $ k $ é um número inteiro qualquer.
Passo 3
Agora, vamos substituir essa expressão de $ b $ na expressão que queremos analisar, que é $ 10b + 1 $:
Passo 4
Queremos encontrar o resto da divisão de $ 60k + 51 $ por 6. Podemos usar a propriedade da modularidade que diz que:
Aplicando essa propriedade:
Passo 5
Vamos calcular cada parte separadamente:
Isso porque $ 60k $ é múltiplo de 6 ($ 60k = 6 \times 10k $), e qualquer múltiplo de 6 dividido por 6 dá resto 0.
Agora, calculamos $ 51 \mod 6 $:
Então:
Passo 6
Somando os restos que encontramos:
Portanto, o resto da divisão de $ 60k + 51 $ por 6 é 3.
Resposta
O resto da divisão de
por 6 é igual a 3.