Para as funções dadas abaixo calcule lim h 0 f(x+h)-f(x)h.
f(x)=a^x, a in R+^*-1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f definida por
f(x)=a^x, ainR+^*setminus1
usando a definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
Para resolver vamos usar propriedades de exponenciais e o limite fundamental de e^u.

Passo 2

Escrevemos o quociente de diferença:
f(x+h)-f(x)h =a^x+h-a^xh =a^x,a^h - a^xh

Passo 3

Fatorando a^x que não depende de h, temos
a^x+h-a^xh =a^x;a^h -1h
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f'(x) =limhto0f(x+h)-f(x)h =a^x;limhto0a^h -1h

Passo 4

Para calcular
L=limhto0a^h -1h, escrevemos
a^h = e^hln(a),
então
a^h -1h =e^hln(a)-1h =e^hln(a)-1hln(a);ln(a)
Como limuto0tfrace^u-1u=1, substituindo u=hln(a) obtemos
L=ln(a)

Passo 5

Substituindo de volta em f'(x), concluímos
f'(x)=a^x;ln(a)

Resposta

limhto0f(x+h)-f(x)h =f'(x)=a^xln(a)

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