Calcule, se existirem, os seguintes limites:
lim x +infty(1+e^-x)^x

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftyl(1+e^-xr)^x
Como e^-xto0 quando xto+infty, a expressão está na forma indeterminada 1^infty. Para resolver esse tipo de limite, vamos usar logaritmo e a função exponencial.

Passo 2

Escrevemos
limxto+inftyl(1+e^-xr)^x =limxto+inftyexp!l(xln(1+e^-x)r) =exp!l(limxto+inftyxln(1+e^-x)r)
Basta então calcular
L=limxto+inftyxln(1+e^-x)

Passo 3

Para uto0 vale ln(1+u)=u+o(u). Aqui u=e^-xto0, logo
ln(1+e^-x)=e^-x+ol(e^-xr)
Multiplicando por x,
xln(1+e^-x) =xl(e^-x+o(e^-x)r) =x,e^-x+x,o(e^-x)
Sabemos que x,e^-xto0 e também x,o(e^-x)to0. Portanto
L=0
e o limite original é
exp(0)=1

Resposta

1

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