Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Este tipo de equação, em que cada derivada vem multiplicada por potências de
, é chamado de equação de Euler–Cauchy. Para resolvê-la, vamos usar a técnica de buscar soluções da forma
.
Passo 2
Suponha
Então
Passo 3
Substituindo essas expressões na equação original:
Fatorando
(que é diferente de zero para
), obtemos a equação característica
Passo 4
Simplificando o polinômio:
Testando raízes inteiras, vemos que
é raiz. Fazendo a divisão sintética ou fatorando, surge
cuja equação quadrática dá
Passo 5
Como as raízes são
(real) e
(complexas conjugadas), a solução geral fica combinando
Portanto, a solução geral é
com constantes arbitrárias
.