Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
x^3 y^prime prime prime+2 x^2 y^prime prime+2 y=0 (x>0)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
x^3y^primeprimeprime+2x^2y^primeprime+2y=0, x>0
Este tipo de equação, em que cada derivada vem multiplicada por potências de x, é chamado de equação de Euler–Cauchy. Para resolvê-la, vamos usar a técnica de buscar soluções da forma y=x^m.

Passo 2

Suponha
y(x)=x^m
Então
y' = m,x^m-1, y'' = m(m-1),x^m-2, y''' = m(m-1)(m-2),x^m-3

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação original:
x^3l[m(m-1)(m-2)x^m-3r] +2x^2l[m(m-1)x^m-2r] +2,x^m=0
Fatorando x^m (que é diferente de zero para x>0), obtemos a equação característica
m(m-1)(m-2) + 2,m(m-1) + 2 = 0

Passo 4

Simplificando o polinômio:
m(m-1)l[(m-2)+2r] + 2 = m^2(m-1) + 2 = 0 Longrightarrow m^3 - m^2 + 2 = 0
Testando raízes inteiras, vemos que m=-1 é raiz. Fazendo a divisão sintética ou fatorando, surge
(m+1)l(m^2-2m+2r)=0,
cuja equação quadrática dá
m = 1 pm i

Passo 5

Como as raízes são m1=-1 (real) e m2,3=1pm i (complexas conjugadas), a solução geral fica combinando
y1(x)=x^-1,
y2(x)=x^1cosl(ln xr), y3(x)=x^1sinl(ln xr)
Portanto, a solução geral é
y(x)=C1,x^-1+C2,xcosl(ln xr)+C3,xsinl(ln xr),
com constantes arbitrárias C1,C2,C3.

Resposta

y(x)=C1,x^-1+C2,xcosl(ln xr)+C3,xsinl(ln xr)

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