Para as funções dadas abaixo calcule lim h 0 f(x+h)-f(x)h.
Use a definição para encontrar a primeira derivada de cada uma das funções abaixo.
f(x)=raiz[3]x+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=raiz[3]x+1
pela definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
O tema é diferenciação pela definição, e vamos usar álgebra (racionalização pelo caso de diferença de cubos) para simplificar o quociente.

Passo 2

Escrevemos o quociente de diferença:
f(x+h)-f(x)h =raiz[3]x+1+h-raiz[3]x+1h
Para simplificar, identificamos
a=raiz[3]x+1+h, b=raiz[3]x+1,
de modo que o numerador é a-b e a^3-b^3=(x+1+h)-(x+1)=h.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador por a^2+ab+b^2, usando
a-b=a^3-b^3a^2+ab+b^2
Assim
a-bh cdot a^2+ab+b^2a^2+ab+b^2 = a^3-b^3h,(a^2+ab+b^2) = hh,(a^2+ab+b^2)

Passo 4

Cancelamos h e obtemos
1a^2+ab+b^2
Fazendo hto0 temos ato b=raiz[3]x+1, logo
f'(x) =limhto01a^2+ab+b^2 =13,b^2 =13,(raiz[3]x+1)^2 =13,(x+1)^2/3

Resposta

f'(x)=13,(x+1)^2/3

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