Calcule, se existirem, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x-4}{x-\sqrt{x}-2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to2}\frac{x-4}{\,x-\sqrt{x}-2\,}
Esse é um caso de limite de quociente de funções que são contínuas em x=2, desde que o denominador não se anule. Vamos verificar separadamente o numerador e o denominador em x=2.

Passo 2

Calcular o limite do numerador e do denominador:
\lim_{x\to2}(x-4)=2-4=-2
\lim_{x\to2}\bigl(x-\sqrt{x}-2\bigr)=2-\sqrt{2}-2=-\sqrt{2}

Passo 3

Como \lim_{x\to2}(x-\sqrt{x}-2)=-\sqrt{2}\neq0, vale a propriedade
\lim_{x\to2}\frac{x-4}{\,x-\sqrt{x}-2\,} =\frac{\displaystyle\lim_{x\to2}(x-4)}{\displaystyle\lim_{x\to2}(x-\sqrt{x}-2)} =\frac{-2}{-\sqrt{2}} =\frac{2}{\sqrt{2}} =\sqrt{2}.

Resposta

\sqrt{2}

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