Calcule, se existirem, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{3 x^{5}-3 x^{4}+x^{2}-1}{x^{3}+x-2}

Passo 1

O enunciado pede
calcular
\lim_{x\to1}\frac{3x^{5}-3x^{4}+x^{2}-1}{x^{3}+x-2}.
Estamos diante de uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}, então vamos usar fatoração de polinômios para simplificar a expressão antes de tomar o limite.

Passo 2

Primeiro, verificamos a forma da indeterminação por substituição direta em x=1:
\text{num} = 3\cdot1^{5}-3\cdot1^{4}+1^{2}-1 = 3-3+1-1 = 0,
\text{den} = 1^{3}+1-2 = 0.
Logo temos \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Fatoramos o denominador sabendo que x=1 é raiz de x^{3}+x-2. Pela divisão sintética ou reconhecimento direto,
x^{3}+x-2 = (x-1)\,(x^{2}+x+2).

Passo 4

Agora fatoramos o numerador 3x^{5}-3x^{4}+x^{2}-1. Como x=1 anula, dividimos sinteticamente por (x-1):
3x^{5}-3x^{4}+x^{2}-1 = (x-1)\,(3x^{4}+x+1).

Passo 5

Com as duas fatorações, a expressão vira
\frac{3x^{5}-3x^{4}+x^{2}-1}{x^{3}+x-2} = \frac{(x-1)(3x^{4}+x+1)}{(x-1)(x^{2}+x+2)} = \frac{3x^{4}+x+1}{x^{2}+x+2}\quad(x\neq1).
Agora podemos substituir x=1 sem indeterminação:
\lim_{x\to1}\frac{3x^{4}+x+1}{x^{2}+x+2} = \frac{3\cdot1^{4}+1+1}{1^{2}+1+2} = \frac{3+1+1}{1+1+2} = \frac{5}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{4}

Exercícios relacionados