Calcule, se existirem, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{x^2-1}{x^2+1}.
O conteúdo aqui é limites de funções racionais e o uso da continuidade para pontos em que o denominador não se anula.

Passo 2

Funções racionais são contínuas em todos os pontos em que o denominador é diferente de zero.
Para x=3, o denominador é
3^2 + 1 = 9 + 1 = 10 \neq 0,
logo podemos obter o limite por substituição direta.

Passo 3

Substituindo x=3 na expressão, obtemos o valor da função naquele ponto:
\frac{3^2 - 1}{3^2 + 1} = \frac{9 - 1}{9 + 1} = \frac{8}{10}.

Passo 4

Agora basta simplificar a fração:
\frac{8}{10} = \frac{4}{5}.

Resposta

\frac{4}{5}

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