Calcule, se existirem, os seguintes limites:
lim x 0(sin xx)^1 / x

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto 0l(sin xxr)^1/x
Este tipo de limite, em que a base tende a 1 e o expoente tende a infinito (pois 1/xtopminfty), costuma ser tratado escrevendo a expressão na forma
e^lnl((sin x/x)^1/xr)
Para isso, vamos usar desenvolvimento em série de Taylor de sin x e propriedades de logaritmo.

Passo 2

Defina
L = limxto0l(sin xxr)^1/x
Então
ln L = limxto0lnl((sin x/x)^1/xr) = limxto01x,lnl(sin xxr)

Passo 3

Para encontrar lnl(sin x/xr) usamos a expansão de Taylor de sin x em torno de 0:
sin x = x - x^36 + O(x^5)
Dividindo por x
sin xx = 1 - x^26 + O(x^4)
Logo, usando ln(1+u)=u+O(u^2) para uto0, temos
lnl(sin xxr) = lnl(1 - x^26 + O(x^4)r) = -x^26 + O(x^4)

Passo 4

Substituindo no quociente do passo anterior:
1x,lnl(sin xxr) = 1xl(-x^26 + O(x^4)r) = -x6 + O(x^3)
Ao fazermos xto0, esse valor tende a
limxto0l(-tfracx6 + O(x^3)r)=0
Portanto
ln L = 0

Passo 5

Como ln L=0, concluímos
L = e^0 = 1

Resposta

limxto 0l(sin xxr)^1/x = 1

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