Para as funções dadas abaixo calcule lim h 0 f(x+h)-f(x)h.
f(x)=cos (x2)

Passo 1

O enunciado nos pede a derivada de f(x)=cosl(tfracx2r) pela definição
limhto0f(x+h)-f(x)h
Vamos usar identidade trigonométrica e o limite fundamental
limuto0sin uu=1.

Passo 2

Escrevemos o quociente de diferença:
f(x+h)-f(x)h =cosl(tfracx+h2r)-cosl(tfracx2r)h

Passo 3

Aplicamos a fórmula
cos A - cos B = -2,sinl(tfracA+B2r),sinl(tfracA-B2r)
com A=tfracx+h2 e B=tfracx2. Assim,
cosl(tfracx+h2r)-cosl(tfracx2r) =-2,sinl(tfracx/2+(x+h)/22r),sinl(tfrac(x+h)/2-x/22r)

Passo 4

Calculamos os argumentos:
tfracx/2+(x+h)/22=tfracx2+tfrach4 e
tfrac(x+h)/2-x/22=tfrach4. Logo
f(x+h)-f(x)h =-2,sin(tfracx2+tfrach4),sin(tfrach4)h =-2,sinl(tfracx2+tfrach4r),sin(tfrach4)h
Reescrevendo sin(tfrach4)h=sin(tfrach4)(h/4)cdot14, obtemos
f(x+h)-f(x)h =-2,sinl(tfracx2+tfrach4r),sin(tfrach4)(h/4)cdot14

Passo 5

Ao fazer hto0, vale sin(tfrach4)(h/4)to1 e
sin(tfracx2+tfrach4)tosin(tfracx2). Logo
limhto0f(x+h)-f(x)h =-2sinl(tfracx2r)cdot1cdottfrac14 =-tfrac12,sinl(tfracx2r)

Resposta

f'(x) = -12,sinl(x2r)

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