Calcule, se existirem, os seguintes limites:
lim x 1 2 x+1x^3+x^2-5 x+3

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto12x+1x^3+x^2-5x+3. O assunto é limite de função racional e vamos precisar avaliar a forma indeterminada, fatorar o denominador e estudar o sinal perto de x=1.

Passo 2

Vamos tentar a substituição direta: no numerador 2x+1 ao levar xto1 obtemos 2cdot1+1=3. No denominador x^3+x^2-5x+3 ao levar xto1 temos 1+1-5+3=0. Então a forma é tfrac30, não é indeterminado 0/0, mas indica potencial divergência.

Passo 3

Para entender melhor o comportamento, fatoramos o denominador. Definimos f(x)=x^3+x^2-5x+3Como f(1)=0, há fator (x-1). Fazendo divisão sintética por x-1 obtemos o quociente x^2+2x-3, que por sua vez fatora como (x-1)(x+3). Assim
x^3+x^2-5x+3=(x-1)(x^2+2x-3)=(x-1)^2(x+3)

Passo 4

Logo a função fica
2x+1x^3+x^2-5x+3=2x+1(x-1)^2(x+3)

Passo 5

Perto de x=1, o numerador tende a 3>0. No denominador, (x-1)^2 é sempre não negativo e muito pequeno quando x está perto de 1, e x+3 tende a 4>0. Assim o denominador aproxima-se de 0 por valores positivos, fazendo o quociente crescer sem limite superior.

Passo 6

Portanto, o limite diverge para (+\infty.

Resposta

+\infty

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