Calcule, se existirem, os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando x tende a -∞ de uma razão entre um radical de quarta ordem e um polinômio. O conteúdo aqui é limites no infinito usando fatoração dos termos dominantes em funções irracionais e polinomiais. Vamos precisar usar a propriedade de radicais para fatorar a maior potência de x e a definição de valor absoluto para interpretar o sinal quando x é negativo.
Passo 2
Para lidar com o quarto radical, note que dentro dele a maior potência de x é x^{12}. Assim, podemos escrever:
Passo 3
Quando x→-∞, temos |x|=-x, logo |x3|=(-x)3=-x^3. Além disso, dentro da raiz de quarta ordem o termo 16 domina, então
Portanto o numerador se comporta como -x^3·2 = -2x^3.
Passo 4
O denominador é 3x^3+2. Quando x→-∞, o termo constante 2 fica desprezível diante de 3x^3, de modo que a razão se aproxima de
Logo o limite existe e vale -2/3.
Resposta
-\frac{2}{3}