Calcule, se existirem, os seguintes limites:
lim x -infty raiz[4]16 x^12+5 x^4+73 x^3+2

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende a -∞ de uma razão entre um radical de quarta ordem e um polinômio. O conteúdo aqui é limites no infinito usando fatoração dos termos dominantes em funções irracionais e polinomiais. Vamos precisar usar a propriedade de radicais para fatorar a maior potência de x e a definição de valor absoluto para interpretar o sinal quando x é negativo.

Passo 2

Para lidar com o quarto radical, note que dentro dele a maior potência de x é x^{12}. Assim, podemos escrever:
raiz[4]16x^12+5x^4+7=raiz[4]x^12l(16+5x^-8+7x^-12r) =|x^3|raiz[4]16+5x^-8+7x^-12

Passo 3

Quando x→-∞, temos |x|=-x, logo |x3|=(-x)3=-x^3. Além disso, dentro da raiz de quarta ordem o termo 16 domina, então
raiz[4]16+5x^-8+7x^-12toraiz[4]16=2
Portanto o numerador se comporta como -x^3·2 = -2x^3.

Passo 4

O denominador é 3x^3+2. Quando x→-∞, o termo constante 2 fica desprezível diante de 3x^3, de modo que a razão se aproxima de
-2x^33x^3=-23
Logo o limite existe e vale -2/3.

Resposta

-\frac{2}{3}

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