Calcule, se existirem, os seguintes limites:
lim x 12^+ raiz[4]2 x-1raiz2 x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente precisa calcular o limite quando $ x $ se aproxima de $ \frac{1}{2} $ pela direita da função $ \frac{\sqrt[4]{2x} - 1}{\sqrt{2x - 1}} $. Para isso, vamos usar conhecimentos de limites e análise de funções envolvendo raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir $ x $ por $ \frac{1}{2} $ na expressão para ver o que acontece:
x
Isso é uma forma indeterminada, então precisamos de outra estratégia.

Passo 3

Quando encontramos uma forma 00, uma técnica útil é a de substituição. Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a expressão. Seja $ t = 2x - 1 $. Assim, quando $ x $ se aproxima de $ \frac{1}{2} $ pela direita, $ t $ se aproxima de 0 pela direita.

Passo 4

Expressamos $ x $ em termos de $ t $:
x
Agora, substituímos na expressão original:
t

Passo 5

Para resolver o limite, vamos expandir $ \sqrt[4]{t + 1} $ usando a aproximação de binômios para $ t $ próximo de 0:
raiz[4]t + 1
Substituindo na expressão:
t

Passo 6

Agora, calculamos o limite de $ \frac{\sqrt{t}}{4} $ quando $ t $ se aproxima de 0:
raizt4

Resposta

O limite é igual a 0.

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