Calcule, se existirem, os seguintes limites:
lim x 0(e^x+3 x)^1x

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto0l(e^x+3xr)^1/x.
Este é um limite do tipo (1)^infty, então vamos usar a transformação logarítmica e expansão em série de Taylor de e^x.

Passo 2

Usamos a expansão de Taylor de ordem 2 para e^x:
e^x = 1 + x + tfracx^22 + O(x^3)
Logo,
e^x + 3x = 1 + x + tfracx^22 + 3x + O(x^3) = 1 + 4x + tfracx^22 + O(x^3)

Passo 3

Defina
L = limxto0l(e^x+3xr)^1/x
Se L existe, então
ln L = limxto0lnl(e^x+3xr)x

Passo 4

Expandimos o logaritmo usando
ln(1+u)=u+O(u^2) para u=4x+tfracx^22+O(x^3):
lnl(e^x+3xr) = lnl(1+4x+tfracx^22+O(x^3)r) = 4x + O(x^2)
Portanto,
ln(e^x+3x)x = 4 + O(x),
e
ln L = limxto0l(4 + O(x)r) = 4

Passo 5

Daí obtemos L = e^ln L = e^4.

Resposta

e^4

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