Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
x y^(4)+3 y^prime prime prime=0 (x neq 0)

Passo 1

Resumindo: queremos resolver a EDO de 4ª ordem
x,y^(4) + 3,y''' = 0, xneq 0
A ideia é usar a substituição u=y''' para reduzir a ordem da equação.

Passo 2

Definindo u(x)=y'''(x), segue que u'(x)=y^(4)(x). Substituindo na equação original, obtemos
x,u' + 3,u = 0

Passo 3

Essa é uma EDO linear de primeira ordem em u. Colocando em forma padrão,
u' + 3x,u = 0,
temos
u'u = -3x Longrightarrow ln|u| = -3ln|x| + C1 Longrightarrow u(x)=C2,x^-3,
onde C2=e^C1 é constante arbitrária.

Passo 4

Voltando a y'''(x)=C2x^-3, integramos três vezes, somando uma constante a cada integração:
y''(x)=integral C2x^-3,dx=-C22x^-2+C3,
y'(x)=integrall(-tfracC22x^-2+C3r),dx =C22x^-1+C3x+C4,
y(x)=integrall(tfracC22x^-1+C3x+C4r),dx =C22ln|x|+C32x^2+C4x+C5

Passo 5

Renomeando constantes para simplificar, seja
A=C22, B=C32, C=C4, D=C5
Então a solução geral fica
y(x)=Aln|x|+B,x^2+C,x+D, A,B,C,DinR

Resposta

y(x)=Aln|x|+B,x^2+C,x+D, A,B,C,DinR

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