Calcule, se existirem, os seguintes limites:
lim x 0 8 x+tg x7 x-sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 0 8 x+tan x7 x-sin x. Esse exercício envolve o cálculo de limites utilizando propriedades de funções trigonométricas e polinômicas. Para isso, vamos precisar conhecer as aproximações de tan x e sin x quando x está próximo de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, para valores de x bem pequenos, podemos aproximar tan x e sin x usando as seguintes aproximações:
tan x approx x + x^33
sin x approx x - x^36
Essas aproximações são úteis porque simplificam as expressões e facilitam o cálculo do limite.

Passo 3

Agora, substituímos essas aproximações na expressão original do limite:
8x + tan x7x - sin x approx 8x + (x + x^33)7x - (x - x^36) = 9x + x^336x + x^36

Passo 4

Podemos fatorar x no numerador e no denominador:
x (9 + x^23)x (6 + x^26) = 9 + x^236 + x^26
Como x está se aproximando de 0, os termos com x^2 tornam-se negligenciáveis.

Passo 5

Assim, ao substituir x = 0, obtemos:
9 + 06 + 0 = 96 = 32

Resposta

O limite é 32.

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