Calcule explicitamente as seguintes integrais
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Passo 1
Vamos resolver duas integrais que envolvem expressões com $ a^2 + x^2 $. O conteúdo que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente técnicas de integração por substituição. Precisamos entender como simplificar essas integrais para encontrar suas soluções passo a passo.
Passo 2
Primeira Integral:
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição. Vamos definir $ u = a^{2} + x^{2} $. Então, derivando ambos os lados em relação a $ x $:
Substituindo na integral:
Agora, integramos $ u^{-\frac{3}{2}} $:
Voltando para $ u = a^{2} + x^{2} $:
Passo 3
Segunda Integral:
Para esta integral, também vamos usar a substituição trigonométrica. Vamos definir $ x = a \tan \theta $, onde $ \theta $ é um ângulo. Então, derivando ambos os lados:
Substituindo na integral:
Simplificamos lembrando que $ 1 + \tan^{2} \theta = \sec^{2} \theta $:
Integrando $ \cos \theta $:
Voltando para $ \theta $ usando $ \sin \theta = \frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} $:
Resposta
A solução das integrais é: