Calcule explicitamente as seguintes integrais
  • integral x dx(a^2+x^2)^32, a in R
  • integral dx(a^2+x^2)^32, a in R

Passo 1

Vamos resolver duas integrais que envolvem expressões com $ a^2 + x^2 $. O conteúdo que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente técnicas de integração por substituição. Precisamos entender como simplificar essas integrais para encontrar suas soluções passo a passo.

Passo 2

Primeira Integral:
integral x , dx(a^2 + x^2)^32
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição. Vamos definir $ u = a^{2} + x^{2} $. Então, derivando ambos os lados em relação a $ x $:
u = a^2 + x^2
Substituindo na integral:
x
Agora, integramos $ u^{-\frac{3}{2}} $:
dudx = 2x implies du = 2x , dx implies du2 = x , dx
Voltando para $ u = a^{2} + x^{2} $:
integral x , dxu^32 = integral du2u^32 = 12 integral u^-32 , du

Passo 3

Segunda Integral:
integral dx(a^2 + x^2)^32
Para esta integral, também vamos usar a substituição trigonométrica. Vamos definir $ x = a \tan \theta $, onde $ \theta $ é um ângulo. Então, derivando ambos os lados:
x = a tan theta
Substituindo na integral:
theta
Simplificamos lembrando que $ 1 + \tan^{2} \theta = \sec^{2} \theta $:
dx = a sec^2 theta , dtheta
Integrando $ \cos \theta $:
integral a sec^2 theta , dtheta(a^2 + a^2 tan^2 theta)^32 = integral a sec^2 theta , dthetaa^3 (1 + tan^2 theta)^32
Voltando para $ \theta $ usando $ \sin \theta = \frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} $:
1 + tan^2 theta = sec^2 theta

Resposta

A solução das integrais é:
integral x , dx(a^2 + x^2)^32 = -1raiza^2 + x^2 + C
integral dx(a^2 + x^2)^32 = xa^2 raiza^2 + x^2 + C

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