Considere os campos de forças dados por:
(i)
F(r)=-(U0a^3)[(2 x y+y z+y^2) imath+(x^2+x z+2 x y+y^2) jmath+y z k]
(ii)
F(x, y)=U0 pi2 a^2 cos (pi x y2 a^2)(y imath+x jmath)
então:
Verifique se os campos de forças são conservativos (ou não) e encontre uma energia potencial, caso afirmativo.

Passo 1

Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. A pergunta pede para verificar se os dois campos de forças dados são conservativos e, se forem, encontrar uma energia potencial para cada um. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo, calcular o rotacional dos campos e, se o rotacional for zero, encontrar a energia potencial correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o campo de força (i):
F(r) = -(U0a^3)[(2 x y + y z + y^2) imath + (x^2 + x z + 2 x y + y^2) jmath + y z k]
Para verificar se esse campo é conservativo, vamos calcular seu rotacional (∇ × F). Se o rotacional for zero em todas as direções, o campo é conservativo.

Passo 3

Calculando o rotacional de F:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) imath + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) jmath + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Vamos calcular cada componente:
  1. Componente $ \hat{\imath} $:
    imath
    partial Fzpartial y = partialpartial y ( -U0a^3 y z ) = -U0a^3 z
    partial Fypartial z = partialpartial z ( -U0a^3 (x^2 + x z + 2 x y + y^2) ) = -U0a^3 x
  2. Componente $ \hat{\jmath} $:
    partial Fzpartial y - partial Fypartial z = -U0a^3 z - (-U0a^3 x) = -U0a^3 z + U0a^3 x = U0a^3 (x - z)
    jmath
    partial Fxpartial z = partialpartial z ( -U0a^3 (2 x y + y z + y^2) ) = -U0a^3 y
  3. Componente $ \hat{k} $:
    partial Fzpartial x = partialpartial x ( -U0a^3 y z ) = 0
    partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = -U0a^3 y - 0 = -U0a^3 y
    k
Então, o rotacional de F é:
partial Fypartial x = partialpartial x ( -U0a^3 (x^2 + x z + 2 x y + y^2) ) = -U0a^3 (2x + z + 2y)
Como o rotacional não é zero, concluímos que o campo de força (i) não é conservativo.

Passo 4

Agora, vamos analisar o campo de força (ii):
F(x, y) = U0 pi2 a^2 cos (pi x y2 a^2) (y imath + x jmath)
Da mesma forma, vamos calcular o rotacional de F para verificar se é conservativo.

Passo 5

Calculando o rotacional de F:
Como F é apenas dependente de $ x $ e $ y $, e não de $ z $, a componente $ \hat{k} $ do rotacional será:
x
Vamos calcular $ \frac{\partial F_y}{\partial x} $ e $ \frac{\partial F_x}{\partial y} $:
  1. Calculando $ \frac{\partial F_y}{\partial x} $:
    y
    Usando a regra do produto:
    z
    k
  2. Calculando $ \frac{\partial F_x}{\partial y} $:
    nabla times F = ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
    Usando a regra do produto:
    partial Fypartial x
    partial Fxpartial y
  3. Calculando $ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} $:
    partial Fypartial x
Então, o rotacional de F é zero:
Fy = U0 pi2 a^2 cos (pi x y2 a^2) x
Como o rotacional é zero, o campo de força (ii) é conservativo.

Passo 6

Como o campo de força (ii) é conservativo, podemos encontrar uma função potencial $ U(x, y) $ tal que:
U(x, y)
Isso significa que:
F = -nabla U
Vamos integrar $ F_x $ em relação a $ x $ para encontrar $ U $:
Fx = -partial Upartial x e Fy = -partial Upartial y
Integrando:
Fx
Usando a substituição $ u = \frac{\pi x y}{2 a^{2}} $, temos $ du = \frac{\pi y}{2 a^{2}} dx $, então $ dx = \frac{2 a^{2}}{\pi y} du $:
x
Onde $ C $ é a constante de integração, que podemos considerar zero se escolhermos $ U(0,0) = 0 $.

Resposta

O campo de força (i) não é conservativo porque seu rotacional não é zero. Já o campo de força (ii) é conservativo, e a energia potencial associada é:
U(x, y) = -U0 sin(pi x y2 a^2)

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