Considere os campos de forças dados por:
(i)
(ii)
então:
Verifique se os campos de forças são conservativos (ou não) e encontre uma energia potencial, caso afirmativo.
(i)
Verifique se os campos de forças são conservativos (ou não) e encontre uma energia potencial, caso afirmativo.
Passo 1
Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. A pergunta pede para verificar se os dois campos de forças dados são conservativos e, se forem, encontrar uma energia potencial para cada um. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo, calcular o rotacional dos campos e, se o rotacional for zero, encontrar a energia potencial correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o campo de força (i):
Para verificar se esse campo é conservativo, vamos calcular seu rotacional (∇ × F). Se o rotacional for zero em todas as direções, o campo é conservativo.
Passo 3
Calculando o rotacional de F:
Vamos calcular cada componente:
-
Componente $ \hat{\imath} $:
-
Componente $ \hat{\jmath} $:
-
Componente $ \hat{k} $:
Então, o rotacional de F é:
Como o rotacional não é zero, concluímos que o campo de força (i) não é conservativo.
Passo 4
Agora, vamos analisar o campo de força (ii):
Da mesma forma, vamos calcular o rotacional de F para verificar se é conservativo.
Passo 5
Calculando o rotacional de F:
Como F é apenas dependente de $ x $ e $ y $, e não de $ z $, a componente $ \hat{k} $ do rotacional será:
Vamos calcular $ \frac{\partial F_y}{\partial x} $ e $ \frac{\partial F_x}{\partial y} $:
-
Calculando $ \frac{\partial F_y}{\partial x} $:Usando a regra do produto:
-
Calculando $ \frac{\partial F_x}{\partial y} $:Usando a regra do produto:
-
Calculando $ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} $:
Então, o rotacional de F é zero:
Como o rotacional é zero, o campo de força (ii) é conservativo.
Passo 6
Como o campo de força (ii) é conservativo, podemos encontrar uma função potencial $ U(x, y) $ tal que:
Isso significa que:
Vamos integrar $ F_x $ em relação a $ x $ para encontrar $ U $:
Integrando:
Usando a substituição $ u = \frac{\pi x y}{2 a^{2}} $, temos $ du = \frac{\pi y}{2 a^{2}} dx $, então $ dx = \frac{2 a^{2}}{\pi y} du $:
Onde $ C $ é a constante de integração, que podemos considerar zero se escolhermos $ U(0,0) = 0 $.
Resposta
O campo de força (i) não é conservativo porque seu rotacional não é zero. Já o campo de força (ii) é conservativo, e a energia potencial associada é: