Um carrinho de massa m é solto de uma altura H e percorre um plano inclinado até chegar ao solo, quando entra em um loop de raio R. Essa altura é a menor posível para que ele consiga percorrer o loop. Supondo que após sair do loop o carrinho se mova em uma superfície com coeficiente de atrito cinético mu(x)=-b x, com b uma constante real positiva, qual distância ele irá percorrer até parar?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física! Aqui temos um carrinho de massa $ m $ que é solto de uma altura $ H $ e desce um plano inclinado até entrar em um loop de raio $ R $. A altura $ H $ é a mínima necessária para que o carrinho complete o loop. Depois que ele sai do loop, ele se move em uma superfície com atrito cinético dado por $ \mu(x) = -b x $, onde $ b $ é uma constante positiva. Nosso objetivo é descobrir que distância o carrinho vai percorrer até parar.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia mecânica, forças centrípetas e trabalho realizado pelo atrito. Vamos seguir passo a passo para entender tudo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a altura mínima $ H $ necessária para que o carrinho consiga passar pelo loop. No ponto mais alto do loop, a força centrípeta necessária para manter o carrinho na trajetória é fornecida pela força gravitacional. A condição mínima é que a velocidade do carrinho no topo do loop seja tal que a força centrípeta seja igual à força gravitacional.
A força centrípeta é dada por:
H
E a força gravitacional no topo do loop é:
Fc = m v^2R
Para que o carrinho consiga passar pelo loop, precisamos que:
Fg = m g
Simplificando:
m v^2R >= m g

Passo 3

Agora, vamos relacionar essa velocidade mínima com a altura $ H $ da qual o carrinho foi solto. Usamos o princípio da conservação de energia. A energia potencial inicial do carrinho é convertida em energia cinética no ponto mais baixo antes de entrar no loop.
A energia potencial inicial é:
H
A energia cinética no ponto mais baixo é:
Ep = m g H
Igualando as energias (desprezando perdas inicialmente):
Ek = 12 m v^2
Simplificando:
m g H = 12 m v^2
Sabemos que $ v^2 \geq g R $, então substituindo:
H = v^22 g
Portanto, a altura mínima $ H $ é:
v^2 >= g R

Passo 4

Agora que sabemos a altura $ H = \frac{R}{2} $, vamos calcular a velocidade do carrinho ao sair do loop. No ponto mais baixo antes do loop, a energia potencial é convertida totalmente em energia cinética mais a energia necessária para passar no loop.
A energia no ponto mais baixo:
H = R2
No topo do loop, a energia total é a soma da energia cinética e da energia potencial:
Ek = m g H = m g cdot R2
Como $ v_{topo}^2 = g R $:
Etopo = 12 m vtopo^2 + m g (2R)
A energia total no ponto mais baixo deve ser igual:
vtopo^2 = g R
Isso nos confirma que a altura mínima está correta. Assim, a velocidade ao sair do loop é:
Etopo = 12 m g R + 2 m g R = 52 m g R í
Porém, isso indica que o carrinho apenas consegue passar pelo loop sem velocidade extra, então consideramos que ele sai do loop com velocidade mínima.

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância que o carrinho percorre após sair do loop até parar, considerando o atrito. O atrito é dado por $ \mu(x) = -b x $, mas na verdade, o atrito que atua é a força de atrito que faz o carrinho desacelerar.
A força de atrito:
mu(x) = -b x
Onde $ N = m g $ é a força normal. Então:
Fa = mu(x) cdot N
A força de atrito faz trabalho para parar o carrinho. O trabalho realizado pelo atrito é igual à energia cinética inicial do carrinho:
N = m g
Igualando ao trabalho para a energia parar:
Fa = -b x cdot m g
Cancelando $ \frac{1}{2} m $ dos dois lados:
W = integral Fa , dx = integral -b m g x , dx = -12 b m g x^2
Resolvendo para $ x $:
12 m v^2 = 12 b m g x^2

Resposta

A distância que o carrinho irá percorrer até parar é:
x = vraizb g

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