Calcule a expressão.
b) \log _{5} 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de \log_{5} 1.
Informações dadas: a base do logaritmo é \,5 e o argumento é \,1. A pergunta é: qual número c satisfaz \log_{5}1=c?

Passo 2

Lembrando a definição de logaritmo: \log_{a} b = c significa que
a^{c}=b,
desde que a base a seja positiva e a\neq 1, e o argumento b seja positivo. Aqui a=5 (que é positivo e diferente de 1) e b=1 (positivo), então o logaritmo está bem definido.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso, procuramos c tal que
5^{c}=1.
Então o problema virou achar o expoente que faz a potência de 5 igual a 1.

Passo 4

Fato importante e muito útil (propriedade de potências): para qualquer número real a não nulo e positivo, vale
a^{0}=1.
Uma forma intuitiva de ver isso é usar a regra das potências a^{m}a^{n}=a^{m+n}. Se escolhermos m=0 e n=1, temos a^{0}a^{1}=a^{1}. Como a^{1}=a, para que a igualdade seja verdadeira precisamos de a^{0}=1. Assim, o expoente 0 sempre produz 1 (desde que a base seja positiva e não nula). Exemplos rápidos: 2^{0}=1, 10^{0}=1, 5^{0}=1.

Passo 5

Como 5^{0}=1, concluímos que o expoente procurado é c=0. Portanto
\log_{5}1=0.

Resposta

0

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