Coloque cada expressão fracionária na forma padrão racionalizando o denominador.
e)
e)
Passo 1
O enunciado pede: “Coloque cada expressão fracionária na forma padrão racionalizando o denominador.” A expressão dada (item e) é
. Informações relevantes: a expressão envolve raiz quadrada de uma fração com denominador
. Para trabalhar com raízes reais, vamos considerar que
(para que a raiz esteja definida como número real).
Passo 2
Objetivo desta resolução: eliminar (racionalizar) qualquer raiz no denominador. Explicação da ideia usada: quando temos uma fração com uma raiz no denominador, podemos multiplicar numerador e denominador por uma expressão adequada que remova a raiz do denominador — isto é multiplicar por
na forma
. Antes de aplicar isso, usamos uma propriedade básica das raízes:
Propriedade 1: para
e
,
Propriedade 2: para
e
,
Vou aplicar essas propriedades passo a passo — sem pular etapas — para que você consiga repetir na prova.
Passo 3
Aplicando a Propriedade 1 à expressão
obtemos:
Aqui escrevi a raiz da fração como a razão das raízes.
Passo 4
Agora racionalizamos o denominador: multiplicamos numerador e denominador por
(isso é multiplicar por
, logo o valor não muda), de modo a eliminar a raiz no denominador:
Passo 5
Calculemos o denominador e simplifiquemos o numerador usando a Propriedade 2. Primeiro,
E o numerador
. Portanto a fração fica
Essa forma não tem raiz no denominador — foi racionalizada — e é equivalente à expressão original para
.
Passo 6
Verificação numérica rápida (para lhe dar confiança): escolha
. Original:
Na forma racionalizada:
Confere! É a mesma coisa. Boa — você pode repetir esse procedimento sempre que tiver uma raiz no denominador.