Coloque cada expressão fracionária na forma padrão racionalizando o denominador.
e) \sqrt{\frac{x}{5}}

Passo 1

O enunciado pede: “Coloque cada expressão fracionária na forma padrão racionalizando o denominador.” A expressão dada (item e) é \sqrt{\frac{x}{5}}. Informações relevantes: a expressão envolve raiz quadrada de uma fração com denominador 5. Para trabalhar com raízes reais, vamos considerar que x\ge 0 (para que a raiz esteja definida como número real).

Passo 2

Objetivo desta resolução: eliminar (racionalizar) qualquer raiz no denominador. Explicação da ideia usada: quando temos uma fração com uma raiz no denominador, podemos multiplicar numerador e denominador por uma expressão adequada que remova a raiz do denominador — isto é multiplicar por 1 na forma \frac{\text{algo}}{\text{algo}}. Antes de aplicar isso, usamos uma propriedade básica das raízes:
Propriedade 1: para a\ge 0 e b>0,
\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.
Propriedade 2: para a\ge 0 e b\ge 0,
\sqrt{a}\,\sqrt{b}=\sqrt{ab}.
Vou aplicar essas propriedades passo a passo — sem pular etapas — para que você consiga repetir na prova.

Passo 3

Aplicando a Propriedade 1 à expressão \sqrt{\frac{x}{5}} obtemos:
\sqrt{\frac{x}{5}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}.
Aqui escrevi a raiz da fração como a razão das raízes.

Passo 4

Agora racionalizamos o denominador: multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{5} (isso é multiplicar por 1, logo o valor não muda), de modo a eliminar a raiz no denominador:
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{x}\,\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2}.

Passo 5

Calculemos o denominador e simplifiquemos o numerador usando a Propriedade 2. Primeiro,
(\sqrt{5})^2=5.
E o numerador \sqrt{x}\,\sqrt{5}=\sqrt{5x}. Portanto a fração fica
\frac{\sqrt{5x}}{5}.
Essa forma não tem raiz no denominador — foi racionalizada — e é equivalente à expressão original para x\ge 0.

Passo 6

Verificação numérica rápida (para lhe dar confiança): escolha x=20. Original:
\sqrt{\frac{20}{5}}=\sqrt{4}=2.
Na forma racionalizada:
\frac{\sqrt{5\cdot 20}}{5}=\frac{\sqrt{100}}{5}=\frac{10}{5}=2.
Confere! É a mesma coisa. Boa — você pode repetir esse procedimento sempre que tiver uma raiz no denominador.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{5x}}{5}

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