Calcule a expressão.
c) \log _{6} 6^{5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão \log_{6} 6^{5}.
Dados: a base do logaritmo é 6 e o argumento é 6^{5}. A pergunta é: qual o valor numérico de \log_{6} 6^{5}?

Passo 2

Vou lembrar a definição de logaritmo de forma bem direta e simples. Seja uma base b positiva e diferente de 1, e seja a>0. Por definição
\log_{b} a = x \quad\text{se, e somente se,}\quad b^{x}=a.
Aqui as variáveis significam:
  • b é a base do logaritmo (aqui b=6);
  • a é o número cujo logaritmo queremos (aqui a=6^{5});
  • x é o resultado do logaritmo que procuramos.
Intuitivamente, \log_{b} a responde: “a que potência devemos elevar b para obter a?”

Passo 3

Aplique a definição ao nosso caso: escrevo
x=\log_{6} 6^{5}.
Pela definição de logaritmo, isso é equivalente a
6^{x}=6^{5}.

Passo 4

Agora uso uma propriedade elementar das potências: a função exponencial 6^{t} (com base fixa 6>0, 6\neq1) é injetora, isto é, se 6^{x}=6^{y} então necessariamente x=y. Aplicando isso ao passo anterior, de 6^{x}=6^{5} segue que
x=5.

Passo 5

Também posso mostrar a mesma conclusão usando regras algébricas de logaritmos: existe a propriedade
\log_{b} (b^{k}) = k,
porque \log_{b} (b^{k}) = k\cdot \log_{b} b = k\cdot 1 = k. No nosso caso b=6 e k=5, então \log_{6} 6^{5}=5. Esse é apenas um outro caminho que confirma o resultado.

Resposta

5

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