Coloque cada expressão fracionária na forma padrão racionalizando o denominador.
f) \sqrt[5]{\frac{1}{x^{3}}}

Passo 1

O enunciado pede para colocar a expressão \sqrt[5]{\frac{1}{x^{3}}} na forma padrão, racionalizando o denominador.
Informações dadas: a expressão é \sqrt[5]{\frac{1}{x^{3}}}. Devemos eliminar radicais do denominador e dar a forma equivalente sem raiz no denominador. Também é importante observar que x\neq 0 (porque há divisão por x^{3}).

Passo 2

Vamos reescrever a expressão usando a propriedade de raízes que permite separar numerador e denominador dentro da raiz:
\sqrt[5]{\frac{1}{x^{3}}}=\frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{x^{3}}}.
Aqui usei a identidade \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} válida quando b\neq 0. Como \sqrt[5]{1}=1, isso vira
\sqrt[5]{\frac{1}{x^{3}}}=\frac{1}{\sqrt[5]{x^{3}}}.

Passo 3

Expliquei a meta: racionalizar o denominador significa eliminar a raiz do denominador. Uma forma prática é trabalhar com expoentes racionais. Repare que
\sqrt[5]{x^{3}}=x^{\tfrac{3}{5}}.
Queremos tornar o expoente do x no denominador um inteiro (preferivelmente múltiplo de 5), assim a raiz desaparece.

Passo 4

Para transformar x^{\tfrac{3}{5}} num inteiro com uma multiplicação interior a uma raiz quinta, precisamos somar um expoente \tfrac{2}{5}, pois
\tfrac{3}{5}+\tfrac{2}{5}=1.
Isso significa multiplicar numerador e denominador por \sqrt[5]{x^{2}} (que equivale a x^{\tfrac{2}{5}}). Essa escolha é padrão: multiplicar pela raiz que completa o expoente até um múltiplo de 5.

Passo 5

Multiplicando por \dfrac{\sqrt[5]{x^{2}}}{\sqrt[5]{x^{2}}} obtemos:
\frac{1}{\sqrt[5]{x^{3}}}\cdot\frac{\sqrt[5]{x^{2}}}{\sqrt[5]{x^{2}}}=\frac{\sqrt[5]{x^{2}}}{\sqrt[5]{x^{3}}\sqrt[5]{x^{2}}}.
Usando a propriedade \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab} no denominador:
\frac{\sqrt[5]{x^{2}}}{\sqrt[5]{x^{3}\cdot x^{2}}}=\frac{\sqrt[5]{x^{2}}}{\sqrt[5]{x^{5}}}.

Passo 6

Agora \sqrt[5]{x^{5}}=x. Como o índice da raiz é ímpar, essa igualdade vale para todo x real (inclusive negativos), mas lembramos que x\neq 0. Portanto a expressão fica
\frac{\sqrt[5]{x^{2}}}{x}.
Pronto: o denominador não tem mais radical.

Passo 7

Pequena observação didática e exemplo para fixar: o procedimento geral para racionalizar \sqrt[n]{\frac{1}{x^{k}}} quando 0<k<n é multiplicar por \sqrt[n]{x^{\,n-k}} em cima e em baixo, porque isso faz o expoente total no denominador virar n, e \sqrt[n]{x^{n}}=x. Exemplo rápido: \sqrt[3]{\frac{1}{y^{2}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{y^{2}}}\cdot\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{y}}=\frac{\sqrt[3]{y}}{y}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt[5]{x^{2}}}{x}

Exercícios relacionados