Coloque cada expressão fracionária na forma padrão racionalizando o denominador.
f)
f)
Passo 1
O enunciado pede para colocar a expressão
na forma padrão, racionalizando o denominador.
Informações dadas: a expressão é . Devemos eliminar radicais do denominador e dar a forma equivalente sem raiz no denominador. Também é importante observar que
(porque há divisão por
).
Informações dadas: a expressão é
Passo 2
Vamos reescrever a expressão usando a propriedade de raízes que permite separar numerador e denominador dentro da raiz:
Aqui usei a identidade
válida quando
. Como
, isso vira
Passo 3
Expliquei a meta: racionalizar o denominador significa eliminar a raiz do denominador. Uma forma prática é trabalhar com expoentes racionais. Repare que
Queremos tornar o expoente do
no denominador um inteiro (preferivelmente múltiplo de
), assim a raiz desaparece.
Passo 4
Para transformar
num inteiro com uma multiplicação interior a uma raiz quinta, precisamos somar um expoente
, pois
Isso significa multiplicar numerador e denominador por
(que equivale a
). Essa escolha é padrão: multiplicar pela raiz que completa o expoente até um múltiplo de
.
Passo 5
Multiplicando por
obtemos:
Usando a propriedade
no denominador:
Passo 6
Agora
. Como o índice da raiz é ímpar, essa igualdade vale para todo
real (inclusive negativos), mas lembramos que
. Portanto a expressão fica
Pronto: o denominador não tem mais radical.
Passo 7
Pequena observação didática e exemplo para fixar: o procedimento geral para racionalizar
quando
é multiplicar por
em cima e em baixo, porque isso faz o expoente total no denominador virar
, e
. Exemplo rápido:
.