Simplifique a expressão e elimine os expoentes negativos. Assuma que todas as letras denotam números positivos.
g) \sqrt[6]{y^{5}} \sqrt[3]{y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão e eliminar expoentes negativos (se houver), assumindo que todas as letras representam números positivos. A expressão dada é \sqrt[6]{y^{5}} \sqrt[3]{y^{2}}.
Informações relevantes: todas as letras (aqui apenas y) são positivas, então podemos usar raízes e potências fracionárias sem problema.

Passo 2

Uma regra fundamental que vamos usar é a equivalência entre radicais e potências fracionárias. Ela diz que, para qualquer número positivo a, inteiro m e inteiro n>0,
\sqrt[n]{a^{m}} = a^{m/n}.
Isto significa que a raiz enésima de a^{m} pode ser escrita como a elevado à fração m/n. Essa regra nos permite somar expoentes quando multiplicamos potências com a mesma base.

Passo 3

Aplique a regra do passo anterior a cada fator da expressão:
\sqrt[6]{y^{5}} = y^{5/6}, \qquad \sqrt[3]{y^{2}} = y^{2/3}.
Portanto a expressão vira
y^{5/6}\cdot y^{2/3}.

Passo 4

Agora use a propriedade das potências com mesma base: para qualquer a>0 e quaisquer expoentes r e s,
a^{r}\cdot a^{s} = a^{r+s}.
Aqui r=5/6 e s=2/3. Vamos somar esses expoentes; para isso passe para denominador comum 6:
\frac{2}{3} = \frac{4}{6},
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\frac{5}{6} + \frac{2}{3} = \frac{5}{6} + \frac{4}{6} = \frac{9}{6}.
Simplificando a fração \frac{9}{6} por 3 obtemos \frac{3}{2}. Assim
y^{5/6}\cdot y^{2/3} = y^{3/2}.

Passo 5

Vamos reescrever y^{3/2} em forma de radical mais familiar, sem expoentes fracionários, para ficar mais claro na hora da prova. Note que
y^{3/2} = y^{1 + 1/2} = y^{1}\cdot y^{1/2} = y\cdot \sqrt{y}.
Outra forma equivalente é \sqrt{y^{3}}, pois \sqrt{y^{3}} = y^{3/2}. Ambas as formas estão livres de expoentes negativos (não havia nenhum inicialmente), e são equivalentes quando y>0.

Resposta

y\sqrt{y}

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