Calcule a expressão dada sem usar uma calculadora:
\left(\frac{1}{4}\right)^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular exatamente a expressão \left(\frac{1}{4}\right)^{1/2} sem usar calculadora.
Informações dadas:
  • A base é \dfrac{1}{4}.
  • O expoente é 1/2.
    O objetivo é encontrar o valor numérico exato dessa potência.

Passo 2

Entender o que significa um expoente fracionário. Para todo número positivo a e números inteiros m,n com n>0 vale a definição padrão:
a^{\tfrac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{\,m}}.
No caso especial m=1 e n=2 temos
a^{1/2}=\sqrt{a},
ou seja, elevar a 1/2 é pegar a raiz quadrada. Essa definição é consistente porque \big(\sqrt{a}\big)^2=a.

Passo 3

Aplicar a definição ao nosso caso. Como o expoente é 1/2,
\left(\frac{1}{4}\right)^{1/2}=\sqrt{\frac{1}{4}}.

Passo 4

Usar a propriedade de potências sobre quocientes: para a>0,b>0 e qualquer expoente r vale
\left(\frac{a}{b}\right)^{r}=\frac{a^{r}}{b^{r}}.
Aplicando com a=1, b=4, r=\tfrac{1}{2}:
\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1^{1/2}}{4^{1/2}}.

Passo 5

Calcular numerador e denominador separadamente:
1^{1/2}=1\quad\text{(porque a raiz quadrada de 1 é 1)},é
4^{1/2}=\sqrt{4}=2\quad\text{(porque }2^2=4\text{)}.
Portanto a fração fica \dfrac{1}{2}.

Passo 6

Apresento um método alternativo curto (útil para variar a estratégia): escrever \dfrac{1}{4} como potência de 2. Como 4=2^2, temos
\frac{1}{4}=2^{-2}.
Então
\left(\frac{1}{4}\right)^{1/2}=(2^{-2})^{1/2}=2^{-2\cdot\frac{1}{2}}=2^{-1}=\frac{1}{2},
usando a regra (a^{m})^{n}=a^{mn}. Mesmo resultado, método diferente.

Passo 7

Alguns exemplos rápidos para fixar o conceito:
  • \left(\dfrac{1}{9}\right)^{1/2}=\dfrac{1}{3}.
  • \left(\dfrac{9}{16}\right)^{1/2}=\dfrac{3}{4}.
  • \,a^{1/2}=\sqrt{a}, então para números quadrados perfeitos a raiz é inteira (ex.: \sqrt{25}=5).
    Força aí — você já entendeu a ideia: expoente 1/2 é raiz quadrada!

Resposta

\dfrac{1}{2}

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