Calcule a expressão dada sem usar uma calculadora:
\frac{2^{4 / 3}\left(2^{5 / 3}\right)}{2^{5}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da expressão
\frac{2^{4/3}\left(2^{5/3}\right)}{2^{5}}.
Informações dadas:
  • Temos potências de mesma base 2 com expoentes fracionários \tfrac{4}{3} e \tfrac{5}{3}.
  • A operação é multiplicação no numerador e divisão por 2^{5} no denominador.
    O objetivo é simplificar essa expressão sem calculadora e obter um número simples.

Passo 2

Regra útil 1 (produto de potências de mesma base): para qualquer base a e expoentes m,n vale
a^{m}\,a^{n}=a^{m+n}.
Aqui aplicamos essa regra ao numerador 2^{4/3}\cdot 2^{5/3}. Somando os expoentes:
\frac{4}{3}+\frac{5}{3}=\frac{9}{3}=3.
Portanto o numerador simplifica para
2^{4/3}\cdot 2^{5/3}=2^{3}.

Passo 3

Substituindo no quociente, a expressão fica
\frac{2^{3}}{2^{5}}.
Regra útil 2 (quociente de potências de mesma base): para a\neq 0 e expoentes m,n vale
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.
Aplicando aqui:
\frac{2^{3}}{2^{5}}=2^{3-5}=2^{-2}.

Passo 4

Regra útil 3 (expoente negativo): para a\neq 0 e inteiro k vale
a^{-k}=\frac{1}{a^{k}}.
Assim,
2^{-2}=\frac{1}{2^{2}}.
Calculando a potência no denominador:
2^{2}=4,
logo o quociente é \dfrac{1}{4} (o valor final será apresentado na seção de resposta).

Passo 5

Chegamos ao valor numérico simplificado da expressão seguindo só regras de potências: produto (soma de expoentes), quociente (subtração de expoentes) e expoente negativo (recíproco).

Resposta

\dfrac{1}{4}

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