Calcule a expressão e escreva sua resposta na forma
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a expressão e escrever a resposta na forma
. As informações dadas são:
- Numerador:
. - Denominador:
.
A tarefa: encontrar um número complexoigual a .
Passo 2
Ideia principal (sem ainda calcular): para dividir complexos e obter a forma
convém eliminar a parte imaginária do denominador. Para isso usamos o conjugado do denominador.
Definição do conjugado: o conjugado de um número complexo
, onde
e
são reais, é
. Multiplicar um complexo pelo seu conjugado dá um número real:
pois
. Isso nos permite transformar o denominador em um real.
Passo 3
Aplicando a ideia ao problema: o conjugado do denominador
é
. Multiplicamos numerador e denominador por esse conjugado (isso não altera o valor):
Passo 4
Calcular o numerador passo a passo usando a distributiva (FOIL):
Agora calculando cada termo:
Somando e usando
:
Passo 5
Calcular o denominador (produto com o conjugado). Pode-se usar a identidade de soma e diferença:
Como
:
Passo 6
Agora temos a fração com denominador real:
Para escrever na forma
, separamos as partes real e imaginária: