Assinale falso ou verdadeiro. Se a afirmaçāo for falsa, dê um contra exemplo. Se for verdadeira, prove.
() Seja A uma matriz 2 \times 3 e B uma matriz 3 \times 2. Se A B=I_{2} entāo B A=I_{3}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A é uma matriz 2\times3.
  • B é uma matriz 3\times2.
  • Sabe-se que A B = I_{2} (a identidade 2\times2).
A pergunta é: a afirmação "se A B=I_{2} então B A=I_{3}" é verdadeira ou falsa?
Se for falsa, devo fornecer um contraexemplo; se for verdadeira, provar.
Estratégia: vou primeiro explicar conceitos relevantes (rank, inversa à esquerda/direita, propriedades de multiplicação) para que a ideia fique clara. Em seguida eu apresento um contraexemplo concreto (pois a afirmação é falsa) e também dou um argumento geral e simples usando posto (rank) que mostra por que não pode ocorrer B A=I_{3}.

Passo 2

Conceitos e fatos que vou usar (explicados de forma simples):
  • O posto (rank) de uma matriz é o número máximo de colunas linearmente independentes (ou linhas independentes). Denoto por \operatorname{rank}(\cdot).
  • Para uma matriz M de tamanho m\times n vale 0\le \operatorname{rank}(M)\le \min(m,n).
  • Para produtos de matrizes vale a desigualdade
\operatorname{rank}(XY)\le \min\big(\operatorname{rank}(X),\,\operatorname{rank}(Y)\big).
Isto significa que o posto do produto não pode exceder o posto de nenhum dos fatores.
  • Se uma matriz quadrada I_k aparece como produto, então \operatorname{rank}(I_k)=k. Em particular, \operatorname{rank}(I_2)=2 e \operatorname{rank}(I_3)=3.
  • “Inversa à direita” e “inversa à esquerda”: se A é m\times n e existe C tal que A C=I_m, diz-se que C é inversa à direita de A (ou que A tem uma inversa à direita). Isso força \operatorname{rank}(A)=m (posto máximo de linhas): A tem posto completo nas linhas.

Passo 3

Argumento por posto que mostra que a afirmação não pode ser verdadeira em geral:
  • Se A B = I_{2}, então \operatorname{rank}(A B)=\operatorname{rank}(I_{2})=2.
  • Pela desigualdade do posto do produto,
2=\operatorname{rank}(A B)\le \operatorname{rank}(A)\le \min(2,3)=2.
Logo \operatorname{rank}(A)=2 (ou seja, A tem posto máximo possível para uma 2\times3).
  • Também \operatorname{rank}(A B)\le \operatorname{rank}(B), logo \operatorname{rank}(B)\ge 2. Mas B é 3\times2, então \operatorname{rank}(B)\le 2. Portanto \operatorname{rank}(B)=2.
  • Agora considere B A. Tem tamanho 3\times3. Pelo fato geral,
\operatorname{rank}(B A)\le \operatorname{rank}(A)=2.
  • Mas \operatorname{rank}(I_{3})=3. Então é impossível ter B A=I_{3}, porque isso exigiria \operatorname{rank}(B A)=3, contradizendo \operatorname{rank}(B A)\le 2.
Portanto, em geral não vale que B A=I_{3}. A conclusão já surge do argumento com postos: o produto B A não pode ter posto 3 porque A tem no máximo posto 2.

Passo 4

Contraexemplo concreto (muito simples) que mostra explicitamente a falsidade:
Escolha
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad\text{(matriz \(2\times3\))},
B=\begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad\text{(matriz \(3\times2\)).}
Calculemos A B (produto 2\times3 por 3\times2, dá 2\times2):
A B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix} =I_{2}.
Portanto A B=I_{2}, como exigido no enunciado.
Agora calculemos B A (produto 3\times2 por 2\times3, dá 3\times3):
B A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Claramente B A\neq I_{3} (a terceira linha/terceira coluna mostram um zero na diagonal, posto de B A é 2, não 3).
Assim temos um contraexemplo explícito que satisfaz A B=I_{2} mas não satisfaz B A=I_{3}.]

Passo 5

Resumo e interpretação intuitiva: ter A B=I_{2} diz que A tem posto 2 (é “sobrejetora” como aplicação linear \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2), mas como A tem apenas 2 linhas não pode recuperar informações para produzir uma inversa à esquerda de dimensão 3. Por isso não se pode inverter a ordem e obter a identidade 3\times3. Em linguagem mais simples: matrizes retangulares podem ter inversas à direita ou à esquerda, mas não ambas do mesmo tipo que uma inversa total (quadrada) — e o posto impede B A de ser I_3.

Resposta

Falso.

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