Calcule a expressão e escreva sua resposta na forma a+b i.
\frac{3-2 i}{1-4 i}

Passo 1

O enunciado pede calcular a expressão e escrever a resposta na forma a+b i. As informações dadas são:
  • Numerador: 3-2 i.
  • Denominador: 1-4 i.
    A tarefa: encontrar um número complexo a+b i igual a \dfrac{3-2 i}{1-4 i}.

Passo 2

Ideia principal (sem ainda calcular): para dividir complexos e obter a forma a+b i convém eliminar a parte imaginária do denominador. Para isso usamos o conjugado do denominador.
Definição do conjugado: o conjugado de um número complexo \,x+ y i, onde x e y são reais, é \,x- y i. Multiplicar um complexo pelo seu conjugado dá um número real:
(x+ y i)(x- y i)=x^{2}+y^{2},
pois i^{2}=-1. Isso nos permite transformar o denominador em um real.

Passo 3

Aplicando a ideia ao problema: o conjugado do denominador (1-4 i) é (1+4 i). Multiplicamos numerador e denominador por esse conjugado (isso não altera o valor):
\frac{3-2 i}{1-4 i}=\frac{(3-2 i)(1+4 i)}{(1-4 i)(1+4 i)}.

Passo 4

Calcular o numerador passo a passo usando a distributiva (FOIL):
(3-2 i)(1+4 i)=3\cdot 1 + 3\cdot 4 i + (-2 i)\cdot 1 + (-2 i)\cdot 4 i.
Agora calculando cada termo:
3\cdot 1=3,\qquad 3\cdot 4 i=12 i,\qquad (-2 i)\cdot 1=-2 i,\qquad (-2 i)\cdot 4 i=-8 i^{2}.
Somando e usando i^{2}=-1:
3+12 i-2 i-8 i^{2}=3+10 i-8(-1)=3+10 i+8=11+10 i.

Passo 5

Calcular o denominador (produto com o conjugado). Pode-se usar a identidade de soma e diferença:
(1-4 i)(1+4 i)=1^{2}-(4 i)^{2}=1-16 i^{2}.
Como i^{2}=-1:
1-16(-1)=1+16=17.

Passo 6

Agora temos a fração com denominador real:
\frac{3-2 i}{1-4 i}=\frac{11+10 i}{17}.
Para escrever na forma a+b i, separamos as partes real e imaginária:
\frac{11+10 i}{17}=\frac{11}{17}+\frac{10}{17}i.

Resposta

\frac{11}{17}+\frac{10}{17}i

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