Calcule a expressão de v(t) para um corpo de massa m e velocidade inicial V0 horizontal, sujeito a uma força de retardo dada por F=-k v^3 / 2, onde k>0. Qual o tempo necessário ara que o corpo reduza sua velocidade para 1 / e da velocidade inicial?

Passo 1

O enunciado trata de um corpo de massa m que, lançado com velocidade inicial horizontal ,V0, sofre uma força de retardo proporcional a v^3/2, ou seja
mdvdt=-k,v^3/2, k>0
O conteúdo é resolução de uma equação diferencial por separação de variáveis.

Passo 2

Escrevemos a equação diferencial e separamos as variáveis:
mdvdt=-k,v^3/2 Longrightarrow dvv^3/2=-km,dt

Passo 3

Integramos ambos os lados. Para o lado esquerdo:
integral v^-3/2,dv =integral v^-3/2,dv =-2,v^-1/2+C1
Para o lado direito:
integral -km,dt =-km,t + C2
Igualando as integrais:
-2,v^-1/2=-km,t + C,
onde C=C2-C1.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial v(0)=V0. Em t=0 temos
-2,V0^-1/2=C,
logo a solução implícita fica
-2,v^-1/2 =-km,t-2,V0^-1/2
Multiplicando por -1 e dividindo por 2:
v^-1/2 =k2m,t+V0^-1/2

Passo 5

Invertendo a relação para obter v(t):
v(t) =1l(V0^-1/2+dfrack2m,tr)^2 =V0l(1+dfrackraizV02m,tr)^2

Passo 6

Para achar o tempo te em que v(te)=V0/e, impomos
V0l(1+dfrackraizV02m,ter)^2 =V0e Longrightarrow l(1+kraizV02m,ter)^2=e
Tomando raiz positiva,
1+kraizV02m,te=raize Longrightarrow te =2mkraizV0,l(raize-1r)

Resposta

A expressão para a velocidade é
v(t)=V0l(1+dfrackraizV02m,tr)^2
e o tempo para v=V0/e é
te=2mkraizV0,l(raize-1r)

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