As extremidades da barra uniforme de massa m deslizam livremente nas guias horizontal e vertical. Calcule a posição de equilibrio. A mola com rigidez k está sem deformaçāo quando x=0.

Passo 1

O enunciado descreve uma barra rígida e uniforme de massa m e comprimento L cujas extremidades deslizam sem atrito em duas guias perpendiculares: uma guia horizontal (onde a coordenada vertical é y=0) e uma guia vertical (onde a coordenada horizontal é x=0). A extremidade que desliza na guia horizontal está ligada a uma mola de rigidez k, que está sem deformação quando x=0. Precisamos encontrar a posição de equilíbrio ,x. Para isso vamos usar:
  1. Equilíbrio estático de forças (resultante nula).
  2. Equilíbrio estático de momentos (soma dos momentos nula).
  3. Restrição geométrica da barra:
x^2 + y^2 = L^2

Passo 2

Desenhando o diagrama de corpo-livre da barra, temos:
  • Peso ,mg atuando para baixo, aplicado no centro da barra (coordenadas (x/2,y/2)).
  • Força da mola ,Fs = kx puxando para a esquerda, aplicada na extremidade em (x,0).
  • Reação vertical ,Rv na extremidade em (x,0), equilibrando o peso;
  • Reação horizontal ,Rh na extremidade em (0,y), equilibrando a força da mola.
    Da soma de forças verticais:
Rv - mg = 0 Longrightarrow Rv = mg
Da soma de forças horizontais:
Rh - kx = 0 Longrightarrow Rh = kx

Passo 3

Para encontrar a posição de equilíbrio basta impor também equilíbrio de momentos. Escolhemos como polo a extremidade em (0,y), assim a reação Rh não gera momento. A soma algébrica dos momentos deve ser zero:
  • O peso mg gera um momento horário de módulo mg,(x/2).
  • A força da mola kx gera um momento anti-horário de módulo kxcdot y.
    Equilibrando momentos (positivo no sentido da mola):
kxcdot y ;-; mgcdotx2 ;=; 0
Como xneq 0 em equilíbrio não-trivial, dividimos por x e obtemos
k,y ;=;tfracmg2 Longrightarrow y = mg2k

Passo 4

Finalmente usamos a relação geométrica da barra
x^2 + y^2 = L^2
substituindo y = tfracmg2k:
x^2 + l(mg2kr)^2 = L^2 Longrightarrow x = raiz,L^2 - l(mg2kr)^2,

Resposta

boxedxrm eq ;=;raiz,L^2 ;-;l(tfracmg2kr)^2,

Exercícios relacionados