Calcule as expressões:
2^{2+2 \log _{2} 5}=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão \,2^{2+2\log_{2}5}\,.
Informações dadas:
  • A base da potência é 2.
  • No expoente aparece 2 somado a 2\log_{2}5.
  • Não há outras condições ou valores a determinar: é só simplificar essa expressão.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar as propriedades que vamos usar (de forma bem direta, como eu explicaria num rascunho de prova):
  • Regra do produto de potências com mesma base: para quaisquer a e números x,y,
a^{x+y}=a^{x}\cdot a^{y}.
Isto vem do fato de que somar expoentes corresponde a multiplicar potências da mesma base (ex.: 2^{3+2}=2^{3}\cdot2^{2}=8\cdot4).
  • Regra de potência de potência: para quaisquer a, x e k,
a^{k x}=\bigl(a^{x}\bigr)^{k}.
Exemplo: 2^{2\cdot 3}=(2^{3})^{2}=8^{2}=64.
  • Definição inversa logaritmo-potência: para base a>0, a\neq1, e b>0,
a^{\log_{a} b}=b.
Isto significa: \log_{a} b é o expoente ao qual a deve ser elevado para obter b. Ex.: 2^{\log_{2}5}=5.

Passo 3

Aplicar a regra a^{x+y}=a^{x}\cdot a^{y} à expressão \,2^{2+2\log_{2}5}\,:
2^{2+2\log_{2}5}=2^{2}\cdot 2^{2\log_{2}5}.

Passo 4

Tratar a potência 2^{2\log_{2}5}. Usando a regra a^{k x}=(a^{x})^{k} com a=2, k=2 e x=\log_{2}5, obtemos:
2^{2\log_{2}5}=\bigl(2^{\log_{2}5}\bigr)^{2}.
Agora aplicar 2^{\log_{2}5}=5 (propriedade logaritmo-potência):
\bigl(2^{\log_{2}5}\bigr)^{2}=5^{2}=25.

Passo 5

Substituir o resultado no produto do Passo 3:
2^{2+2\log_{2}5}=2^{2}\cdot 25.
E calcular 2^{2}=4, ficando
2^{2+2\log_{2}5}=4\cdot 25.

Passo 6

Observação alternativa (modo rápido, útil na prova): fatorar o expoente como 2(1+\log_{2}5) e usar (a^{b})^{k}=a^{bk}:
2^{2+2\log_{2}5}=2^{2(1+\log_{2}5)}=\bigl(2^{1+\log_{2}5}\bigr)^{2}=\bigl(2\cdot 2^{\log_{2}5}\bigr)^{2}=\bigl(2\cdot 5\bigr)^{2}=10^{2}.
Isso mostra o mesmo caminho (chegando a 10^{2}).

Resposta

100

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